Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Решити логаритамску неједначину.
пр.7) ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 0$
пр.7) ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}{\log _{5 - x}}1$
Сматрамо два случаја:
1.) кад je $5 - x > 1$ онда нашу неједначину можемо преписати у овом облику $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 1$
2.) кад je $0 < 5 - x < 1$ онда нашу неједначину можемо преписати у овом облику $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \leqslant 1$
Решимо ови два случаjа.
1.)\[\begin{gathered}
5 - x > 1 \hfill \\
- x > 1 - 5 \hfill \\
x < 4 \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 1 \hfill \\
\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} - 1 \geqslant 0 \hfill \\
\frac{{{x^2} + x - x - 4}}{{x + 4}} \geqslant 0 \hfill \\
\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 4}} \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \]
Решимо ову неједначину табличном методом.
| ${x^2} - 4 = 0$ | $x + 4 = 0$ |
| $x = \pm 2$ | $x = - 4$ |
\[x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\]
Решење овог случаjа: $x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2;4} \right)$
2.) $0 < 5 - x < 1$
| $5 - x > 0$ | $5 - x < 1$ |
| $x < 5$ | $ - x < 1 - 5$ |
| | $ - x < - 4$ |
| | $x > 4$ |
Решење овој неједначине је $x \in \left( {4;5} \right)$
Решење неједначине $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \leqslant 1$ можемо погледати у таблици:
$x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left[ { - 2;2} \right]$
Решење овог случаjа можемо видети на броjевноj правоj.
Решење овог случаjа: $x \in \emptyset $
Решење неједначине ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 0$ је униjа решења првовог и другог случаjа, а то je $x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2;4} \right)$
