Логаритамске неједначине 3

Логаритми. Логаритамске неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску једначину.

Пр.6) ${\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant 0$

Пр.6) Услов: Логаритам jе дефинисан кад

$\left. {1.} \right){\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$

$\left. {2.} \right)\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$

Решимо прву неједначину

$\begin{aligned}&{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0 \\ &{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > {\log _5}1 \\ &\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 1 \\ &\frac{{x - 3}}{{x - 4}} - 1 > 0 \\ &\frac{{x - 3 - \left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} > 0 \\ &\frac{1}{{x - 4}} > 0\end{aligned}$

Разломак jе позитиван ако је именилац и бројилац истог знака. Код нас је бројилац 1>0, онда $\begin{aligned}&x - 4 > 0 \\ &x > 4 \\ &x \in \left( {4; + \infty } \right)\end{aligned}$

Решимо другу неједначину табличном методом.

$\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$

${x - 3 = 0}$	${x - 4 = 0}$
$x = 3$	$x = 4$

$x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Решење услова: $x \in \left( {4; + \infty } \right)$

Прелазимо на решавање задатака.

$\begin{aligned}&{\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant 0 \\ &{\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant {\log _{0,3}}1\end{aligned}$

Пази!!! Окреће се смер ( $0 < 0,3 < 1$ )

$\begin{aligned}&{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant 1 \\ &{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant {\log _5}5 \\ &\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant 5 \\ &\frac{{x - 3}}{{x - 4}} - 5 \leqslant 0 \\ &\frac{{x - 3 - 5\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} \leqslant 0 \\ &\frac{{x - 3 - 5x + 20}}{{x - 4}} \leqslant 0 \\ &\frac{{ - 4x + 17}}{{x - 4}} \leqslant 0\end{aligned}$

Решимо ову неједначину табличном методом.

${ - 4x + 17 = 0}$	${x - 4 = 0}$
$x = \frac{{17}}{4}$	$x = 4$

$x \in \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left[ {\frac{{17}}{4}; + \infty } \right)$

Упакуjмо

$x \in \left[ {\frac{{17}}{4}; + \infty } \right)$ - коначно решење.

Кад је логаритам унутар логаритма, као у $\log_{0{,}3} \log_5 \frac{x-3}{x-4} \ge 0$ , услов има два дела: унутрашњи аргумент мора бити позитиван, $\frac{x-3}{x-4} > 0$ , а унутрашњи логаритам такође, $\log_5 \frac{x-3}{x-4} > 0$ . Пресек тих услова је $x > 4$ .

Затим решавате споља ка унутра. Нулу пишете као $\log_{0{,}3} 1$ ; основа $0{,}3 < 1$ окреће знак, па $\log_5 \frac{x-3}{x-4} \le 1 = \log_5 5$ . Основа 5 је већа од 1, знак остаје: $\frac{x-3}{x-4} \le 5$ . Разломачку неједначину решите табелом знакова и пресеците са условом, па је $x \ge \frac{17}{4}$ . При сваком кораку проверите да ли је основа већа или мања од 1, а сваку границу интервала упоредите са свим условима.

Број x5

Аргумент (x − 3)/(x − 4): 2
Унутрашњи логаритам log₅: 0,431
Вредност f(x): 0,7

График функције

\log_{0{,}3} \log_5 \frac{x-3}{x-4}

постоји само за

x > 4

, где је унутрашњи логаритам позитиван. Изнад осе

x

је тек од

x = \frac{17}{4}

надесно, и то је решење неједначине.

Хемичари киселост раствора изражавају вредношћу $\mathrm{pH} = -\log c$ , где је $c$ концентрација водоникових јона, па из дозвољеног распона $\mathrm{pH}$ , на пример за воду у базену или акваријуму, логаритамском неједначином добијају распон концентрације.

Вода у базену

Препоручује се да вода у базену има $\mathrm{pH}$ између 7,2 и 7,8. Киселост се рачуна као $\mathrm{pH} = -\log c = \log_{0{,}1} c$ , где је $c$ концентрација водоникових јона у $\mathrm{mol/l}$ . У ком распону мора бити концентрација $c$ ?

Решење

Услов: $c > 0$ . Треба решити $7{,}2 \le \log_{0{,}1} c \le 7{,}8$ , дакле две неједначине.
Бројеве пишемо као логаритме исте основе: $7{,}2 = \log_{0{,}1} 0{,}1^{7{,}2}$ и $7{,}8 = \log_{0{,}1} 0{,}1^{7{,}8}$ .
Основа $0{,}1$ је мања од 1, па се оба знака окрећу: $0{,}1^{7{,}8} \le c \le 0{,}1^{7{,}2}$ , тј. $10^{-7{,}8} \le c \le 10^{-7{,}2}$ .
Израчунато: $10^{-7{,}8} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-8}$ и $10^{-7{,}2} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-8}$ .

Одговор: Концентрација водоникових јона мора бити између $1{,}6 \cdot 10^{-8}$ и $6{,}3 \cdot 10^{-8}$ $\mathrm{mol/l}$ ; већи $\mathrm{pH}$ значи мању концентрацију.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $\log_{\frac{1}{2}} \log_3 (x - 1) > 0$ .

Прикажи решење

Услови: $x - 1 > 0$ и $\log_3 (x - 1) > 0$ , па $x > 2$ . Основа $\frac{1}{2}$ окреће знак: $\log_3 (x - 1) < 1$ , тј. $x - 1 < 3$ , $x < 4$ . Решење: $x \in (2, 4)$ .