Логаритамске неједначине 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску неједначину.

пр.4)   ${\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0$

пр.5)   ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$

Пр.4 ${\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0$

Услов: Логаритам jе дефинисан кад

\[\frac{{4x + 6}}{x} > 0\]

Решимо ову неједначину табличном методом.

Решење услова: $x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$

Прелазимо на решавање задатака.

\[\begin{gathered}
  {\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant 0 \hfill \\
  {\log _{\frac{1}{5}}}\frac{{4x + 6}}{x} \geqslant {\log _{\frac{1}{5}}}1 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пази!!! Окреће се смер ($0 < \frac{1}{5} < 1$)

\[\begin{gathered}
  \frac{{4x + 6}}{x} \leqslant 1 \hfill \\
  \frac{{4x + 6}}{x} - 1 \leqslant 0 \hfill \\
  \frac{{4x + 6 - x}}{x} \leqslant 0 \hfill \\
  \frac{{3x + 6}}{x} \leqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

Добили смо: $x \in \left[ { - 2;0} \right)$

Упакуjмо

$x \in \left[ { - 2; - \frac{3}{2}} \right)$ - коначно решење.

Пр.5 ${\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0$

Услов: Логаритам jе дефинисан кад

 $ \left. {1.} \right){\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 $
 $ \left. {2.} \right)\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 $
Решимо прву неједначину

\[\begin{gathered}
  {\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 \hfill \\
  {\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > {\log _4}1 \hfill \\
  {x^2} - 5 > 1 \hfill \\
  {x^2} - 6 > 0 \hfill \\
  {x^2} - 6 = 0 \hfill \\
  x =  \pm \sqrt 6  \hfill \\
\end{gathered} \]

\[x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt 6 ; + \infty } \right)\]

Решимо другу неједначину

\[\begin{gathered}
  {x^2} - 5 > 0 \hfill \\
  {x^2} - 5 = 0 \hfill \\
  x =  \pm \sqrt 5  \hfill \\
\end{gathered} \]

\[x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\]

Решење услова: $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt 6 ; + \infty } \right)$

Прелазимо на решавање задатака.

\[\begin{gathered}
  {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > 0 \hfill \\
  {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{3}}}1 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пази!!! Окреће се смер ($0 < \frac{1}{3} < 1$)

\[\begin{gathered}
  {\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) < 1 \hfill \\
  {\log _4}\left( {{x^2} - 5} \right) < {\log _4}4 \hfill \\
  \left( {{x^2} - 5} \right) < 4 \hfill \\
  {x^2} - 9 < 0 \hfill \\
  {x^2} - 9 = 0 \hfill \\
  x =  \pm 3 \hfill \\
\end{gathered} \]

\[x \in \left( { - 3;3} \right)\]

Упакуjмо

$x \in \left( { - 3; - \sqrt 6 } \right) \cup \left( {\sqrt {6;} 3} \right)$- коначно решење.