Квадратна једначина – Виетове фомуле 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2   Не решавајући квадратну једначину $2{x^2} - 3x + 6 = 0$

           одредити $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = $

Пр.3   Не решавајући квадратну једначину $ - {x^2} + x - 6 = 0$

           одреди $x_1^3 - x_2^3 = $

Пр.4   Не решавајући квадратну једначину $0,5{x^2} - x + 7,5 = 0$

           одреди $x_1^3 - x_2^3 = $

Пр.5   Не решавајући квадратну једначину

          ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4m + 5 = 0$ одредити параметар

          $m$ тако да између решења постоји веза ${x_1} - {x_2} = 2$.

Пр.2

\[\begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{3}{2} \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{2} = 3 \hfill \\
\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3

\[\begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{{ - 1}} = 1 \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{{ - 1}} = 6 \hfill \\
x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = \hfill \\
= 1 - 2 \cdot 6 = - 11 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4

\[\begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 1}}{{0,5}} = 2 \hfill \\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{7,5}}{{0,5}} = 15 \hfill \\
x_1^3 + x_2^3 = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2 = \hfill \\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \hfill \\
= {2^3} - 3 \cdot 15 \cdot 2 = 8 - 90 = - 82 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5

\[\begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 2\left( {m + 2} \right)}}{1} = 2\left( {m + 2} \right) \hfill \\
{x_1}{x_2} = 4m + 5 \hfill \\
\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = 2 \hfill \\
\sqrt {x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2} = 2 \hfill \\
\sqrt {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} = 2 \hfill \\
\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = 2 \hfill \\
\sqrt {{{\left( {2\left( {m + 2} \right)} \right)}^2} - 4 \cdot \left( {4m + 5} \right)} = 2 \hfill \\
{\left( {2\left( {m + 2} \right)} \right)^2} - 4 \cdot \left( {4m + 5} \right) = 4 \hfill \\
4\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - 16m - 20 - 4 = 0 \hfill \\
4{m^2} + 16m + 16 - 16m - 20 - 4 = 0 \hfill \\
4{m^2} - 8 = 0 \hfill \\
{m^2} - 2 = 0 \hfill \\
{m^2} = 2 \hfill \\
m = \pm \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \]