Линеарне диференцијалне једначине

1. Наћи опште решење линеарне диференцијалне једначине  $y’ – \frac{2}{{x + 1}}y = {\left( {x + 1} \right)^3}$.

Ова линеарна једначина већ је дата у одговарајућем облику где је  $f\left( x \right) =  – \frac{2}{{x + 1}}$  а  $g\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}$.

Па одмах уводимо смену  $y = u \cdot v \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{2}{{x + 1}}uv = {\left( {x + 1} \right)^3}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{2}{{x + 1}}v} \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}$

$v’ – \frac{2}{{x + 1}}v = 0 {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}\wedge{\text{      }}{\text{      }} {\text{      }} u’v = {\left( {x + 1} \right)^3}$

$v’ = \frac{2}{{x + 1}}v$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{2}{{x + 1}}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{2}{{x + 1}}dx{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\int {\frac{{dv}}{v} = \int {\frac{2}{{x + 1}}dx} } $

${\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}     \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 = t}\\
{dx = dt}
\end{array}} \right|$

$\ln \left| v \right| = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $

$\ln \left| v \right| = 2\ln \left| t \right|$

$v = {\left( {x + 1} \right)^2}$

Када смо израчунали функцију $v$ враћамо се назад у једначину да израчунамо $u$

$u'{\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}$

$\frac{{du}}{{dx}} = x + 1$

$du = \left( {x + 1} \right)dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}/\int {} $

$\int {du}  = \int {\left( {x + 1} \right)dx} $

$u = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$

\[y = uv = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + C} \right)\]

2. Наћи партикуларно решење диференцијалне једначине  $y’ + 3{x^2}y = 6{x^2}$  које задовољава почетни услов  $y\left( 0 \right) = 3$.

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + 3{x^2}uv = 6{x^2}$

$u’v + u\left( {v’ + 3{x^2}v} \right) = 6{x^2}$

$v’ + 3{x^2}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – 3{x^2}v$

$\frac{{dv}}{v} =  – 3{x^2}dx{\rm{   }{\text{      }}{\text{      }} }/\int {} $

$\int {\frac{{dv}}{v}}  = \int { – 3{x^2}dx} $

$\ln \left| v \right| =  – 3\frac{{{x^3}}}{3}$

$\ln \left| v \right| =  – {x^3}$

$v = {e^{ – {x^3}}}$

$u'{e^{ – {x^3}}} = 6{x^2}$

$\frac{{du}}{{dx}} = 6{x^2}{e^{{x^3}}}$

$du = 6{x^2}{e^{{x^3}}}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\int {du}  = \int {6{x^2}{e^{{x^3}}}dx} $

${\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}     \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^3} = t}\\
{3{x^2}dx = dt}
\end{array}} \right|$

$u = 2\int {{e^t}dt} $

$u = 2{e^t} + C$

$u = 2{e^{{x^3}}} + C$

\[y = uv = {e^{ – {x^3}}}\left( {2{e^{{x^3}}} + C} \right) = 2 + \frac{C}{{{e^{{x^3}}}}}\]

Уврштавајући почетни услов, односно  $x = 0,y = 3$ добијамо

$3 = 2 + \frac{C}{{{e^0}}} \Rightarrow 3 = 2 + \frac{C}{1} \Rightarrow C = 1$

па је партикуларно решење наше диференцијалне једначине

\[y = 2 + \frac{1}{{{e^{{x^3}}}}}\]

3. Наћи опште решење диференцијалне једначине  ${x^2}y’ + 2xy = {\cos ^2}x$.

Најпре једначину делимо са ${{x^2}}$ да бисмо је свели на облик линеарне диференцијалне једначине.

${x^2}y’ + 2xy = {\cos ^2}x{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:{x^2}$

$y’ + \frac{2}{x}y = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{x^2}}}$

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + \frac{2}{x}uv = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{x^2}}}$

$u’v + u\left( {v’ + \frac{2}{x}v} \right) = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{x^2}}}$

$v’ + \frac{2}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – \frac{2}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} =  – \frac{2}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\int {\frac{{dv}}{v}}  = \int { – \frac{2}{x}dx} $

$\ln \left| v \right| =  – 2\ln \left| x \right|$

$v = \frac{1}{{{x^2}}}$

$u’\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{x^2}}}$

$\frac{{du}}{{dx}} = {\cos ^2}x$

$du = {\cos ^2}xdx{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

Како је $\cos \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{2}}  \Rightarrow \cos x = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}}  \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$

$u = \int {{{\cos }^2}xdx}  = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx = \int {\frac{1}{2}} dx + \int {\frac{1}{2}} \cos 2xdx = $

${\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = t}\\
{2dx = dt}\\
{dx = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$

$  {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\int {\cos t} \frac{{dt}}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$

\[y = uv = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C} \right) = \frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4{x^2}}}\sin 2x + \frac{C}{{{x^2}}}\]

4. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y’ + y\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$.

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + uv\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$

$u’v + u\left( {v’ + v\cos x} \right) = \frac{1}{2}\sin 2x$

$v’ + v\cos x = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – v\cos x$

$\frac{{dv}}{v} =  – \cos xdx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| =  – \int {\cos xdx} $

$\ln \left| v \right| =  – \sin x$

$v = {e^{ – \sin x}}$

$u'{e^{ – \sin x}} = \frac{1}{2}2\sin x\cos x$

$\frac{{du}}{{dx}}{e^{ – \sin x}} = \sin x\cos x$

$du = \sin x\cos x{e^{\sin x}}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$u = \int {\sin x\cos x{e^{\sin x}}dx} $

${\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x = t}\\
{\cos xdx = dt}
\end{array}} \right|$

$u = \int {t{e^t}dt}  = $

${\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = t}&{dv = {e^t}dt}\\
{du = dt}&{v = {e^t}}
\end{array}} \right|$

$ {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} = t{e^t} + \int {{e^t}dt}  = t{e^t} + {e^t} + C$

$ {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} = \sin x{e^{\sin x}} + {e^{\sin x}} + C$

\[y = uv = {e^{ – \sin x}}\left( {\sin x{e^{\sin x}} + {e^{\sin x}} + C} \right) = \sin x + 1 + \frac{C}{{{e^{\sin x}}}}\]

5. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине  $dy = \frac{{{x^3} + y}}{x}dx$  које задовољава почетни услов  $y\left( 2 \right) = 8$.

$dy = \frac{{{x^3} + y}}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }} {\text{      }}    /:dx$

$\frac{{dy}}{{dx}} = {x^2} + \frac{y}{x}$

$y’ = {x^2} + \frac{1}{x}y$

$y’ – \frac{1}{x}y = {x^2}$

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{1}{x}uv = {x^2}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{1}{x}v} \right) = {x^2}$

$v’ – \frac{1}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{1}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }} {\text{      }}    /\int {} $

$\ln \left| v \right| = \ln \left| x \right|$

$v = x$

$u’x = {x^2}$

$\frac{{du}}{{dx}} = x$

$du = xdx{\rm{   }} {\text{      }} {\text{      }}    /\int {} $

$u = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

\[y = uv = \frac{{{x^3}}}{2} + Cx\]

\[8 = \frac{{{2^3}}}{2} + 2C \Rightarrow C = 2\]

\[y = \frac{{{x^3}}}{2} + 2x\]

6. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $\sin xy’ + \cos xy = {\sin ^2}x$.

$y’ + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}y = \sin x$

$y’ + ctgxy = \sin x$

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + ctgxuv = \sin x$

$u’v + u\left( {v’ + ctgxv} \right) = \sin x$

$v’ + ctgxv = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – ctgxv$

$\frac{{dv}}{v} =  – \frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx{\rm{   }}{\text{      }} {\text{      }}    /\int {} $

$\ln \left| v \right| =  – \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} $

${\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}   {\text{      }}{\text{      }}       \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x = t}\\
{\cos xdx = dt}
\end{array}} \right|$

$\ln \left| v \right| =  – \int {\frac{{dt}}{t}} $

$\ln \left| v \right| =  – \ln \left| t \right|$

$v = \frac{1}{t}$

$v = \frac{1}{{\sin x}}$

$u’\frac{1}{{\sin x}} = \sin x$

$\frac{{du}}{{dx}} = {\sin ^2}x$

$du = {\sin ^2}xdx{\rm{   }}{\text{      }} {\text{      }}    /\int {} $

$u = \int {{{\sin }^2}xdx}  = {\int {\sqrt {\frac{{1 – \cos 2x}}{2}} } ^2}dx = \int {\frac{1}{2}} dx – \int {\frac{{\cos 2x}}{2}} dx = $

${\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}      {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}    {\text{      }}     \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = t}\\
{2dx = dt}\\
{dx = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$

$ {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x + C$

\[y = uv = \frac{1}{{\sin x}}\left( {\frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x + C} \right) = \frac{x}{{2\sin x}} – \frac{{\cos x}}{2} + \frac{C}{{\sin x}}\]

7. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $\left( {1 – {y^2}} \right)dx + \left( {1 – xy} \right)dy = 0$.

Ако бисмо ову диференцијалну једначину покушали свести на линеарну диференцијалну једначину облика  $y’ + f\left( x \right)y = g\left( x \right)$, наишли бисмо на проблем јер не бисмо могли раздвојити  $x$  и  $y$.

Из тог разлога, прелазимо на облик  $x’ + f\left( y \right)x = g\left( y \right)$, односно на линеарну диференцијалну једначину по  $x$.

$\left( {1 – {y^2}} \right)dx =  – \left( {1 – xy} \right)dy$

$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{xy – 1}}{{1 – {y^2}}}$

$x’ = \frac{y}{{1 – {y^2}}}x – \frac{1}{{1 – {y^2}}}$

$x’ – \frac{y}{{1 – {y^2}}}x = \frac{1}{{{y^2} – 1}}$

Уводимо смену  $x = uv \Rightarrow x’ = u’v + uv’$  где су  $u = u\left( y \right)$  и  $v = v\left( y \right)$.

$u’v + uv’ – \frac{y}{{1 – {y^2}}}uv = \frac{1}{{{y^2} – 1}}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{y}{{1 – {y^2}}}v} \right) = \frac{1}{{{y^2} – 1}}$

$v’ – \frac{y}{{1 – {y^2}}}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dy}} = \frac{y}{{1 – {y^2}}}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{y}{{1 – {y^2}}}dy{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = \int {\frac{y}{{1 – {y^2}}}dx} $

${\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}   {\text{      }}{\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}   \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – {y^2} = t}\\
{ – 2ydy = dt}\\
{ydy =  – \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$

$\ln \left| v \right| = \int {\frac{{ – \frac{{dt}}{2}}}{t}}  =  – \frac{1}{2}\ln \left| t \right| =  – \frac{1}{2}\ln \left| {1 – {y^2}} \right|$

$v = \frac{1}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}$

$u’\frac{1}{{\sqrt {1 – {y^2}} }} = \frac{1}{{{y^2} – 1}}{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} / \cdot \sqrt {1 – {y^2}} $

$ u’=  – \frac{{\sqrt {1 – {y^2}} }}{{1 – {y^2}}}$

$ \frac{{du}}{{dy}} =  – \frac{1}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}$

$du =  – \frac{1}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}dy{\rm{   }} {\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$ u=  – arcsiny + C$

\[x = uv = \frac{{ – arcsiny + C}}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}\]

8. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине  ${x^2}y’ + xy = 1$  које задовољава почетни услов  $y\left( 1 \right) = 2$.

${x^2}y’ + xy = 1{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /:{x^2}$

$y’ + \frac{1}{x}y = \frac{1}{{{x^2}}}$

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + \frac{1}{x}uv = \frac{1}{{{x^2}}}$

$u’v + u\left( {v’ + \frac{1}{x}v} \right) = \frac{1}{{{x^2}}}$

$v’ + \frac{1}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – \frac{1}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} =  –  – \frac{1}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| =  – \ln \left| x \right|$

$v = \frac{1}{x}$

$u’\frac{1}{x} = \frac{1}{{{x^2}}}$

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{x}$

$du = \frac{1}{x}dx{\rm{   }} {\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$u = \ln \left| x \right| + \ln C$

$u = \ln xC$

\[y = uv = \frac{{\ln xC}}{x}\]

\[2 = \frac{{\ln 1 \cdot C}}{1} \Rightarrow \ln C = 2 \Rightarrow C = {e^2}\]

\[y = \frac{{\ln x + 2}}{x}\]

9. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине  $xy’ – \frac{y}{{x + 1}} = x$  које пролази кроз тачку  $T\left( {1, – 1} \right)$.

$xy’ – \frac{y}{{x + 1}} = x{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /:x$

$y’ – \frac{y}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1$

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}uv = 1$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}v} \right) = 1$

$v’ – \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = \int {\frac{1}{{{x^2} + x}}dx}  = \int {\frac{1}{{{x^2} + x + \frac{1}{4} – \frac{1}{4}}}dx}  = \int {\frac{1}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}} dx = $

${\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      }}    {\text{      }}   {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \frac{1}{2} = t}\\
{dx = dt}
\end{array}} \right|$

$ {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} = \int {\frac{1}{{{t^2} – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}} dt = \frac{1}{{2 \cdot \frac{1}{2}}}\ln \left| {\frac{{t – \frac{1}{2}}}{{t + \frac{1}{2}}}} \right| = \ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|$

$v = \frac{x}{{x + 1}}$

$u’\frac{x}{{x + 1}} = 1$

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{x + 1}}{x}$

$du = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx{\rm{   }} {\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$u = x + \ln x + C$

\[y = uv = \frac{x}{{x + 1}}\left( {x + \ln x + C} \right)\]

\[ – 1 = \frac{1}{{1 + 1}}\left( {1 + \ln 1 + C} \right) \Rightarrow  – 1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{2} \Rightarrow C =  – 3\]

\[y = \frac{x}{{x + 1}}\left( {x + \ln x – 3} \right)\]

10. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине  $\left( {1 – {x^2}} \right)y’ + xy – 1 = 0$  које пролази кроз тачку  $T\left( {0,  1} \right)$.

$\left( {1 – {x^2}} \right)y’ + xy – 1 = 0{\rm{   }{\text{      }}   {\text{      }} }/:\left( {1 – {x^2}} \right)$

$y’ + \frac{x}{{1 – {x^2}}}y = \frac{1}{{1 – {x^2}}}$

$y = uv \Rightarrow y’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + \frac{x}{{1 – {x^2}}}uv = \frac{1}{{1 – {x^2}}}$

$u’v + u\left( {v’ + \frac{x}{{1 – {x^2}}}v} \right) = \frac{1}{{1 – {x^2}}}$

$v’ + \frac{x}{{1 – {x^2}}}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – \frac{x}{{1 – {x^2}}}v$

$\frac{{dv}}{v} =  – \frac{x}{{1 – {x^2}}}dx{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = \int { – \frac{x}{{1 – {x^2}}}dx}  = $

$ {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – {x^2} = t}\\
\begin{array}{l}
 – 2xdx = dt\\
 – xdx = \frac{{dt}}{2}
\end{array}
\end{array}} \right|$

$ {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }} {\text{      }}    {\text{      }}  = \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{t}}  = \frac{1}{2}\ln \left| t \right| = \ln \sqrt {1 – {x^2}} $

$v = \sqrt {1 – {x^2}} $

$u’\sqrt {1 – {x^2}}  = \frac{1}{{1 – {x^2}}}$

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\frac{1}{{1 – {x^2}}}$

$du = \frac{1}{{{{\sqrt {1 – {x^2}} }^3}}}dx{\rm{   }}{\text{      }}   {\text{      }} /\int {} $

$u = \int {\frac{1}{{{{\sqrt {1 – {x^2}} }^3}}}dx}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \sin t}\\
{dx = \cos tdt}
\end{array}} \right| = \int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}t} }^3}}}}  = \int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\sqrt {{{\cos }^2}t} }^3}}}}  = \int {\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}  =$

${\text{      }}    {\text{      }}  =  tgt + C = tg\left( {\arcsin x} \right) + C = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + C$

\[y = uv = x + C\sqrt {1 – {x^2}} \]

\[1 = 0 + C\sqrt {1 – {0^2}}  \Rightarrow C = 1\]

\[y = x + \sqrt {1 – {x^2}} \]

11. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине  $y’ = \frac{y}{{2y\ln y + y – x}}$  које пролази кроз тачку  $T\left( {1,  1} \right)$.

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{y}{{2y\ln y + y – x}}$

$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{2y\ln y + y – x}}{y}$

$x’ = 2\ln y + 1 – \frac{x}{y}$

$x’ + \frac{1}{y}x = 2\ln y + 1$

$x = uv \Rightarrow x’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + \frac{1}{y}uv = 2\ln y + 1$

$u’v + u\left( {v’ + \frac{1}{y}v} \right) = 2\ln y + 1$

$v’ + \frac{1}{y}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dy}} =  – \frac{1}{y}v$

$\frac{{dv}}{v} =  – \frac{1}{y}dy{\rm{   }}{\text{      }}    {\text{      }}  /\int {} $

$\ln \left| v \right| =  – \ln \left| y \right|$

$v = \frac{1}{y}$

$u’\frac{1}{y} = 2\ln y + 1$

$\frac{{du}}{{dy}} = 2y\ln y + y$

$du = \left( {2y\ln y + y} \right)dy{\rm{   }}{\text{      }}    {\text{      }}  /\int {} $

$u = 2\int {y\ln ydy + \int {ydy} }  = $

${\text{      }}    {\text{      }}  \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = \ln y}&{dv = ydy}\\
{du = \frac{1}{y}dy}&{v = \frac{{{y^2}}}{2}}
\end{array}} \right|$

$ {\text{      }}    {\text{      }}  = 2\left( {\frac{{{y^2}}}{2}\ln y – \int {\frac{{{y^2}}}{2}\frac{1}{y}dy} } \right) + \frac{{{y^2}}}{2} = $

$ {\text{      }}    {\text{      }}  = {y^2}\ln y – \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2} + C = {y^2}\ln y + C$

\[x = uv = \frac{1}{y}\left( {{y^2}\ln y + C} \right) = y\ln y + \frac{C}{y}\]

\[1 = 1\ln 1 + \frac{C}{1} \Rightarrow C = 1\]

\[x = y\ln y + \frac{1}{y}\]