Диференцијалне једначине које се своде на хомогене

1. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $y’ = \frac{{x – y + 1}}{{x + y – 3}}$.

Како је $\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 1}\\
1&1
\end{array}} \right| = 1 – \left( { – 1} \right) = 2 \ne 0$

и решења система  $\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  – \beta  + 1 = 0}\\
{\underline {\alpha  + \beta  – 3 = 0} }
\end{array}$

$\alpha  = 1,\beta  = 2$

уводимо смену:

$x = X + 1{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dx = dX$

$y = Y + 2{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dy = dY$

при чему важи да је $y’ = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dY}}{{dX}} = Y’$

$Y’ = \frac{{X + 1 – Y – 2 + 1}}{{X + 1 + Y + 2 – 3}} = \frac{{X – Y}}{{X + Y}}$

$Y’ = \frac{{X\left( {1 – \frac{Y}{X}} \right)}}{{X\left( {1 + \frac{Y}{X}} \right)}}$

На овај начин смо добили хомогену диференцијалну једначину коју решавамо уобичајеном сменом,

$\frac{Y}{X} = t \Rightarrow Y = tX \Rightarrow Y’ = t’X + t$

$t’X + t = \frac{{1 – t}}{{1 + t}}$

$\frac{{dt}}{{dX}}X = \frac{{1 – t – t – {t^2}}}{{1 + t}}$

$\frac{{\left( {1 + t} \right)dt}}{{1 – 2t – {t^2}}} = \frac{{dX}}{X}{\rm{   }} {\text{   }} {\text{   }} /\int {} $

$\int {\frac{{\left( {1 + t} \right)dt}}{{1 – 2t – {t^2}}} = \int {\frac{{dX}}{X}} } $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – 2t – {t^2} = s}\\
{\left( { – 2 – 2t} \right)dt = ds}\\
{\left( {1 + t} \right)dt = \frac{{ds}}{{ – 2}}}
\end{array}} \right|$

$\int {\frac{{\frac{{ds}}{{ – 2}}}}{s}}  = \int {\frac{{dX}}{X}} $

$ – \frac{1}{2}\ln \left| s \right| = \ln X + \ln C$

$s = {\left( {XC} \right)^{ – 2}}$

$1 – 2t – {t^2} = \frac{1}{{{X^2}{C^2}}}$

$1 – 2\frac{Y}{X} – {\left( {\frac{Y}{X}} \right)^2} = \frac{1}{{{X^2}{C^2}}}$

$\frac{{{X^2} – 2XY – {Y^2}}}{{{X^2}}} = \frac{1}{{{X^2}{C^2}}}$

Kako je  $\begin{array}{*{20}{c}}
{x = X + 1{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}X = x – 1}\\
{y = Y + 2{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}Y = y – 2}
\end{array}$ 

враћајући смену добијамо опште решење полазне диференцијалне једначине

\[{\left( {x – 1} \right)^2} – 2\left( {x – 1} \right)\left( {y – 2} \right) – {\left( {y – 2} \right)^2} = {C_1}\]

2. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $\left( {2x + y + 1} \right)dx – \left( {4x + 2y – 3} \right)dy = 0$.

$\left( {2x + y + 1} \right)dx = \left( {4x + 2y – 3} \right)dy$

$\frac{{2x + y + 1}}{{4x + 2y – 3}} = \frac{{dy}}{{dx}}$

$y’ = \frac{{2x + y + 1}}{{4x + 2y – 3}}$

$\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
4&2
\end{array}} \right| = 4 – 4 = 0$

$4x + 2y – 3 = t \Rightarrow y = \frac{{t – 4x + 3}}{2} \Rightarrow y’ = \frac{1}{2}t’ – 2$

$2\left( {2x + y} \right) – 3 = t$

$2x + y = \frac{{t + 3}}{2}$

$\frac{1}{2}t’ – 2 = \frac{{\frac{{t + 3}}{2} + 1}}{t}$

$\frac{1}{2}\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{\frac{{t + 3 + 2}}{2}}}{t} + 2$

$\frac{1}{2}\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{t + 5 + 4t}}{{2t}}$

$\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{5 + 5t}}{{2t}} \cdot 2$

$\frac{{tdt}}{{5 + 5t}} = dx{\rm{   }}/\int {} $

$\int {\frac{t}{{5 + 5t}}dt = \int {dx} } $

$\frac{1}{5}\int {\frac{{t + 1 – 1}}{{1 + t}}dt = x + C} $

$\frac{1}{5}\left( {\int {dt}  – \int {\frac{{dt}}{{t + 1}}} } \right) = x + C$

$\frac{1}{5}t – \frac{1}{5}\ln \left| {t + 1} \right| = x + C$

$\frac{{4x + 2y – 3}}{5} – \frac{1}{5}\ln \left| {4x + 2y – 3 + 1} \right| = x + C$

\[\frac{{ – x + 2y – 3}}{5} – \frac{1}{5}\ln \left| {4x + 2y – 2} \right| = C\]

3. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $y’ = 2{\left( {\frac{{y + 2}}{{x + y – 1}}} \right)^2}$.

Како је $\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&1
\end{array}} \right| = 0 – 1 =  – 1 \ne 0$

и решења система  $\begin{array}{*{20}{c}}
{\beta  + 2 = 0}\\
{\underline {\alpha  + \beta  – 1 = 0} }
\end{array}$

$\alpha  = 3,\beta  =  – 2$

уводимо смену:

$x = X + 3{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dx = dX$

$y = Y – 2{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dy = dY$

при чему важи да је $y’ = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dY}}{{dX}} = Y’$

$Y’ = 2{\left( {\frac{{Y – 2 + 2}}{{X + 3 + Y – 2 – 1}}} \right)^2} = 2{\left( {\frac{Y}{{X + Y}}} \right)^2}$

Да би могли раздвојити променљиве овом задатку прећићемо на хомогену диференцијалну једначину по $X$

$X’ = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{X + Y}}{Y}} \right)^2}$

па уводимо смену $\frac{X}{Y} = t \Rightarrow X = tY \Rightarrow X’ = t’Y + t$

$t’Y + t = \frac{1}{2}{\left( {t + 1} \right)^2}$

$\frac{{dt}}{{dY}}Y = \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{2} – t$

$\frac{{dt}}{{dY}}Y = \frac{{{t^2} + 1}}{2}$

$\frac{{2dt}}{{{t^2} + 1}} = \frac{{dY}}{Y}{\rm{   }}/\int {} $

$2\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}} = \int {\frac{{dY}}{Y}} } $

$2arctgt = \ln \left| Y \right| + \ln C$

$2arctg\frac{X}{Y} = \ln YC$

\[2arctg\frac{{x – 3}}{{y + 2}} = \ln \left( {y + 2} \right)C\]

4. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $x – y – 1 + \left( {y – x + 2} \right)y’ = 0$.

$\left( {y – x + 2} \right)y’ =  – x + y + 1$

$y’ = \frac{{ – x + y + 1}}{{y – x + 2}}$

Како је у овој диференцијалној једначини  $\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&1\\
{ – 1}&1
\end{array}} \right| =  – 1 + 1 = 0$

уводимо смену

$ – x + y + 2 = t \Rightarrow y = t + x – 2 \Rightarrow y’ = t’ + 1$

$ – x + y = t – 2$

$t’ + 1 = \frac{{t – 2 + 1}}{t}$

$t’ = \frac{{t – 1 – t}}{t}$

$\frac{{dt}}{{dx}} =  – \frac{1}{t}$

$tdt =  – dx{\rm{   }}/\int {} $

$\frac{{{t^2}}}{2} =  – x + C$

${\left( { – x + y + 2} \right)^2} =  – 2x + 2C$

${x^2} + {y^2} + 4 – 2xy – 4x + 4y =  – 2x + 2C$

\[{\left( {x – y} \right)^2} – 2x + 4y = {C_1}\]