Диференцијалне једначине које раздвајају променљиве

1. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x{e^x}}}{{y\sqrt {1 + {y^2}} }}$.

Најпре раздвојимо променљиве, водећи рачуна да се  $dx$  и  $dy$  не смеју наћи испод разломачке црте.

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x{e^x}}}{{y\sqrt {1 + {y^2}} }} {\text{      }}    {\text{      }}  {\text{      /}}dx$

помножићемо једначину са $dx$  да бисмо обезбедили да се оно налази изнад разломачке црте. 

$dy = \frac{{x{e^x}}}{{y\sqrt {1 + {y^2}} }}dx {\text{      }}    {\text{      }} {\text{     /}}y\sqrt {1 + {y^2}}$

Променљиве  $x$  и  $y$  треба да се налазе са различитих страна једнакости.

$y\sqrt {1 + {y^2}} dy = x{e^x}dx$

Када смо раздвојили променљиве, интегралимо добијену једнакост. (интеграл леве стране једнак је интегралу десне стране)

$\int {y\sqrt {1 + {y^2}} dy = \int {x{e^x}dx} }$ 

Посебно ћемо решити ове интеграле.

Интеграл леве стране решићемо директно сменом променљивих.

$\int {y\sqrt {1 + {y^2}} dy}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + {y^2} = t/’}\\
{\left( {1 + {y^2}} \right)’dy = t’dt}\\
{2ydy = dt}\\
{ydy = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right| = $

$ = \int {\sqrt t \frac{{dt}}{2}}  = \frac{1}{2}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt}  = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{\sqrt {{t^3}} }}{3} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {y^2}} \right)}^3}} }}{3} + C$

Интеграл десне стране решавамо парцијалном интеграцијом.

$\int {x{e^x}dx}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = u{\rm{ /’}}}&{{e^x}dx = dv{\rm{ }}/\int {} }\\
{dx = du}&{\int {{e^x}dx = \int {dv} } }\\
{}&{{e^x} = v}
\end{array}} \right| = x{e^x} – \int {{e^x}dx = } x{e^x} – {e^x} + C$

На овај начин добијамо опште решење наше диференцијалне једначине

$\frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {y^2}} \right)}^3}} }}{3} = x{e^x} – {e^x} + C$

(довољно је константу $C$ додати само једној страни једнакости)

Неки професори траже да се из добијене једнакости изрази $y$

$y =  \pm \sqrt {\sqrt[3]{{{{\left( {3x{e^x} – 3{e^x} + 3C} \right)}^2}}} – 1} $

2. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $y’ = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}$.

Имајући у виду да је  $y’ = \frac{{dy}}{{dx}}$, једначину сводимо на

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}$

затим раздвајамо променљиве

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}{\text{      }}    {\text{      }}{\rm{     }}/dx$

$dy = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}dx{\text{      }}    {\text{      }}{\rm{     }}/\left( {2y + \sin y} \right)$

$\left( {2y + \sin y} \right)dy = 3{x^2}dx$

Интегралимо једнакост

$\int {\left( {2y + \sin y} \right)dy = \int {3{x^2}dx} } $

Директним решавањем ових интеграла, добијамо опште решење наше диференцијалне једначине

$2\frac{{{y^2}}}{2} – \cos y = 3\frac{{{x^3}}}{3} + C$

${y^2} – \cos y = {x^3} + C$

3. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $\frac{x}{y} = \frac{{y’}}{{x + 1}}$.

$y’$  замењујемо са  $\frac{{dy}}{{dx}}$

$\frac{x}{y} = \frac{{\frac{{dy}}{{dx}}}}{{x + 1}}{\text{      }}    {\text{      }}{\rm{     /}}y\left( {x + 1} \right)$

затим раздвајамо променљиве

$y\frac{{dy}}{{dx}} = x\left( {x + 1} \right){\text{      }}    {\text{      }}{\rm{     }}/dx$

$ydy = x\left( {x + 1} \right)dx{\text{      }}    {\text{      }}{\rm{     /}}\int {} $

па интегралимо једнакост

$\int {ydy = \int {\left( {{x^2} + x} \right)} } dx$

директним решавањем ових интеграла, добијамо

$\frac{{{y^2}}}{2} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$

4. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $x + xy + y’\left( {y + xy} \right) = 0$.

$x\left( {1 + y} \right) =  – y’y\left( {1 + x} \right)$

$x\left( {1 + y} \right) =  – \frac{{dy}}{{dx}}y\left( {1 + x} \right) {\text{      }} {\text{     }}/dx$

$x\left( {1 + y} \right)dx =  – y\left( {1 + x} \right)dy {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }} {\text{     }}/\frac{1}{{1 + x}}\frac{1}{{1 + y}}$

$\frac{x}{{1 + x}}dx =  – \frac{y}{{1 + y}}dy {\text{      }} {\text{     }}/\int {} $

$\int {\frac{x}{{1 + x}}dx}  =  – \int {\frac{y}{{1 + y}}dy} $

$\int {\frac{{x + 1 – 1}}{{1 + x}}dx}  =  – \int {\frac{{y + 1 – 1}}{{1 + y}}dy} $

$\int {\frac{{x + 1}}{{1 + x}}dx}  – \int {\frac{1}{{1 + x}}dx}  =  – \left( {\int {\frac{{y + 1}}{{1 + y}}dy – \int {\frac{1}{{1 + y}}dy} } } \right)$

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + x = t}\\
{dx = dt}
\end{array}} \right| {\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }} {\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }} {\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}{\text{      }} {\text{     }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + y = s}\\
{dy = ds}
\end{array}} \right|$

$x – \int {\frac{1}{t}dt =  – y + } \int {\frac{1}{s}ds} $

$x – \ln \left| t \right| =  – y+\ln \left| s \right| + C$

$x – \ln \left| {1 + x} \right| =  – y+\ln \left| {1 + y} \right| + C$

5. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $y\left( {{x^2} – 1} \right)y’ =  – x\left( {{y^2} – 1} \right)$.

$y\left( {{x^2} – 1} \right)\frac{{dy}}{{dx}} =  – x\left( {{y^2} – 1} \right){\text{      }}{\text{      }} /dx$

$y\left( {{x^2} – 1} \right)dy =  – x\left( {{y^2} – 1} \right)dx{\text{      }}{\text{      }} /\frac{1}{{{x^2} – 1}}\frac{1}{{{y^2} – 1}}$

$\frac{{ydy}}{{{y^2} – 1}} =  – \frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\int {\frac{{ydy}}{{{y^2} – 1}}}  =  – \int {\frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y^2} – 1 = t}\\
{2ydy = dt}\\
{ydy = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 1 = s}\\
{2xdx = ds}\\
{xdx = \frac{{ds}}{2}}
\end{array}} \right|$

$\int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{t}}  =  – \int {\frac{{\frac{{ds}}{2}}}{s}} $

$\frac{1}{2}\ln \left| t \right| =  – \frac{1}{2}\ln \left| s \right| – \frac{1}{2}\ln C/2$

$\ln \left| t \right| =  – \ln \left| s \right|C$

$\ln \left| t \right| = \ln {\left( {\left| s \right|C} \right)^{ – 1}}$

$\left| t \right| = \frac{1}{{\left| s \right|C}}$

$\left| {{y^2} – 1} \right| = \frac{1}{{C\left| {{x^2} – 1} \right|}}$

6. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $\left( {1 + tgy} \right)y’ = {x^2} + 1$.

$\left( {1 + tgy} \right)\frac{{dy}}{{dx}} = {x^2} + 1{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}/dx$

$\left( {1 + tgy} \right)dy = \left( {{x^2} + 1} \right)dx{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}/\int {}$

$\int {\left( {1 + tgy} \right)dy}  = \int {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} $

$y + \int {\frac{{\sin y}}{{\cos y}}} dy = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos y = t}\\
{ – \sin ydy = dt}\\
{\sin ydy =  – dt}
\end{array}} \right|$

$y + \int {\frac{{ – dt}}{t}}  = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$

$y – \ln \left| t \right| = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$

$y – \ln \left| {\cos y} \right| = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$

7. Одредити партикуларно решење диференцијалне једначине   $x\cos x = \left( {y + {e^{2y}}} \right)y’$  које задовољава почетни услов  $y\left( 0 \right) = 0$.

$x\cos x = \left( {y + {e^{2y}}} \right)\frac{{dy}}{{dx}}{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}/dx$

$x\cos xdx = \left( {y + {e^{2y}}} \right)dy{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}/\int {} $

$\int {x\cos xdx}  = \int {\left( {y + {e^{2y}}} \right)dy} $

Интеграл леве стране решавамо парцијалном интеграцијом

$\int {x\cos xdx}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = x}&{dv = \cos xdx}\\
{du = dx}&{v = \sin x}
\end{array}} \right| = $

$ = x\sin x – \int {\sin xdx}  = x\sin x + \cos x + C$

Док интеграл десне стране раздвајамо на збир два интеграла од којих први решавамо директно, а други сменом

$\int {\left( {y + {e^{2y}}} \right)dy}  = \frac{{{y^2}}}{2} + \int {{e^{2y}}dy}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2y = s}\\
{2dy = ds}\\
{dy = \frac{{ds}}{2}}
\end{array}} \right| = $

$ = \frac{{{y^2}}}{2} + \int {{e^s}\frac{{ds}}{2}}  = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^s} + C = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2y}} + C$

На овај начин добијамо опште решење полазне диференцијалне једначине

$x\sin x + \cos x = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2y}} + C$

Уврштавајући почетни услов $y\left( 0 \right) = 0$, odnosno $x = 0,y = 0$

$0\sin 0 + \cos 0 = \frac{{{0^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2 \cdot 0}} + C$

добијамо да је

$1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

па је партикуларно решење полазне диференцијалне једначине

$x\sin x + \cos x = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2y}} + \frac{1}{2}$

8. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $y\sqrt {1 – {x^2}} dy + x\sqrt {1 – {y^2}} dx = 0$.

$y\sqrt {1 – {x^2}} dy =  – x\sqrt {1 – {y^2}} dx{\rm{    }}{\text{      }}    {\text{      }}/\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\frac{1}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}$

$\frac{y}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}dy = \frac{{ – x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}dx{\rm{    }}{\text{      }}    {\text{      }}/\int {} $

$\int {\frac{y}{{\sqrt {1 – {y^2}} }}dy = \int {\frac{{ – x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}dx} } $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – {y^2} = t}\\
{ – 2ydy = dt}\\
{ydy = \frac{{dt}}{{ – 2}}}
\end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 – {x^2} = s}\\
{ – 2xdx = ds}\\
{ – xdx = \frac{{ds}}{2}}
\end{array}} \right|$

$\int {\frac{{\frac{{dt}}{{ – 2}}}}{{\sqrt t }} = \int {\frac{{\frac{{ds}}{2}}}{{\sqrt s }}} } $

$ – \frac{1}{2}\int {{t^{ – \frac{1}{2}}}dt}  = \frac{1}{2}\int {{s^{ – \frac{1}{2}}}ds} $

$ – \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\frac{{{s^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C$

$ – \sqrt t  = \sqrt s  + C$

$\sqrt {1 – {y^2}}  =  – \sqrt {1 – {x^2}}  – C$

9. Одредити партикуларно решење диференцијалне једначине   $y’\sin x = y\ln y$  које задовољава почетни услов  $y\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = {e^{\sqrt 3 }}$.

$\frac{{dy}}{{dx}}\sin x = y\ln y{\rm{        }}{\text{      }}    {\text{      }}/dx$

$dy\sin x = y\ln ydx{\rm{       }}{\text{      }}    {\text{      }}/\frac{1}{{\sin x}}\frac{1}{{y\ln y}}$

$\frac{{dy}}{{y\ln y}} = \frac{{dx}}{{\sin x}}{\rm{       }}{\text{      }}    {\text{      }}/\int {} $

$\int {\frac{{dy}}{{y\ln y}}}  = \int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $

Интеграл леве стране решавамо сменом

$\int {\frac{{dy}}{{y\ln y}}}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\ln y = t}\\
{\frac{1}{y}dy = dt}
\end{array}} \right| = \int {\frac{{dt}}{t}}  = \ln \left| t \right| + \ln C = \ln \left( {\left| t \right|C} \right) = \ln \left( {\left| {\ln y} \right|C} \right)$

док су нам за решавање интеграла десне стране потребне тригонометријске трансформације

$\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}}  = \int {\frac{1}{{\sin 2 \cdot \frac{x}{2}}}} dx = \int {\frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}}} dx = \int {\frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}}} dx + \int {\frac{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}}} dx =$

$ = \frac{1}{2}\int {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}} dx + \frac{1}{2}\int {\frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}} dx = $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \frac{x}{2} = t}\\
{ – \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}dx = dt}\\
{\sin \frac{x}{2}dx =  – 2dt}
\end{array}} \right|{\text{      }}    {\text{      }}{\text{      }}    {\text{      }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \frac{x}{2} = s}\\
{\cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}dx = ds}\\
{\cos \frac{x}{2}dx = 2ds}
\end{array}} \right|$

$ = \frac{1}{2}\int {\frac{{ – 2dt}}{t}}  + \frac{1}{2}\int {\frac{{ds}}{s}}  =$

Како је $C$ произвољна константа, онда је и $\ln C$ такође произвољна константа.

$=- \ln \left| t \right| + \ln \left| s \right| + \ln C =$

С обзиром да је збир логаритама једнак логаритму производа, а разлика логаритама једнака логаритму количника, добијамо

$=\ln \left| {\frac{s}{t}} \right|C = \ln \left| {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}} \right|C = \ln \left| {tg\frac{x}{2}} \right|C$

у овом задатку смо уместо $C$ писали $\ln C$ да бисмо антилогаритмовањем могли да уклонимо $\ln $ .

На овај начин долазимо до општег решења полазне диференцијалне једначине

$\ln \left( {\left| {\ln y} \right|C} \right) = \ln \left| {tg\frac{x}{2}} \right|$

$\left| {\ln y} \right|C = \left| {tg\frac{x}{2}} \right|$

Ако уврстимо почетни услов, односно  $x = \frac{\pi }{3}$, а  $y = {e^{\sqrt 3 }}$ добијамо

$\ln {e^{\sqrt 3 }} \cdot C = tg\left| {\frac{{\frac{\pi }{3}}}{2}} \right| \Rightarrow \sqrt 3 \ln e \cdot C = tg\left| {\frac{\pi }{6}} \right| \Rightarrow \sqrt 3  \cdot C = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow C = \frac{1}{3}$

па је тражено партикуларно решење

$\frac{1}{3}\left| {\ln y} \right| = \left| {tg\frac{x}{2}} \right|$