Бернулијева диференцијална једначина

1. Одреди опште решење диференцијалне једначине  $y’ + 2xy = 2{x^3}{y^3}$.

Ово је Бернулијева диференцијална једначина, задата у њеном стандардном облику, код које је  $\alpha  = 3$.

Дакле, најпре диференцијалну једначину делимо са   ${y^3}$.

$y’ + 2xy = 2{x^3}{y^3}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:{y^3}$

$\frac{{y’}}{{{y^3}}} + 2x\frac{1}{{{y^2}}} = 2{x^3}$

Уводимо смену  $\frac{1}{{{y^2}}} = z$, односно  ${y^{ – 2}} = z$.

Како је  $y$  зависна променљива, одређујући извод добијамо

$ – 2{y^{ – 3}}y’ = z’$  односно  $\frac{{y’}}{{{y^3}}} = \frac{{z’}}{{ – 2}}$.

Уврштавајући то у полазну диференцијалну једначину

$\frac{{z’}}{{ – 2}} + 2xz = 2{x^3}{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} / \cdot \left( { – 2} \right)$

$z’ – 4xz =  – 4{x^3}$  добили смо линеарну диференцијалну једначину коју решавамо стандардном сменом.

$z = uv{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – 4xuv =  – 4{x^3}$

$u’v + u\left( {v’ – 4xv} \right) =  – 4{x^3}$

$v’ – 4xv = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = 4xv$

$\frac{{dv}}{v} = 4xdx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = 4\frac{{{x^2}}}{2}$

$v = {e^{2{x^2}}}$

$u'{e^{2{x^2}}} =  – 4{x^3}$

$\frac{{du}}{{dx}} =  – 4{x^3}{e^{ – 2{x^2}}}$

$du =  – 4{x^3}{e^{ – 2{x^2}}}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$u =  – 4\int {{x^3}{e^{ – 2{x^2}}}dx}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = {x^2}}&{dv = x{e^{ – 2{x^2}}}dx}\\
{du = 2xdx}&{v = \int {x{e^{ – 2{x^2}}}dx = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 2{x^2} = t}\\
{ – 4xdx = dt}
\end{array}} \right|} }\\
{}&{v = \int {{e^t}\frac{{dt}}{{ – 4}} =  – \frac{1}{4}{e^{ – 2{x^2}}}} }
\end{array}} \right| = $

$ {\text{      }}{\text{      }} =  – 4\left( { – \frac{{{x^2}}}{4}{e^{ – 2{x^2}}} + \frac{2}{4}\int {x{e^{ – 2{x^2}}}dx} } \right)$

$ {\text{      }}{\text{      }} = {x^2}{e^{ – 2{x^2}}} – 2\left( { – \frac{1}{4}{e^{ – 2{x^2}}}} \right) + C = {x^2}{e^{ – 2{x^2}}} + \frac{1}{2}{e^{ – 2{x^2}}} + C$

\[z = uv = {x^2} + \frac{1}{2} + C{e^{2{x^2}}}\]

Како је  $\frac{1}{{{y^2}}} = z{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}y = \frac{1}{{\sqrt z }}$,  па је

\[y =  \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{2} + C{e^{2{x^2}}}} }}\]

2. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине  $xy’ + y =  – x{y^2}$   које задовољава почетни услов  $y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.

Најпре једначину делимо са  $x$  да би је свели на облик Бернулијеве диференцијалне једначине

$xy’ + y =  – x{y^2} {\text{      }}{\text{      }} {\rm{   /:}}x$

$y’ + \frac{1}{x}y =  – {y^2}{\text{      }}{\text{      }} {\rm{   /:}}{y^2}$

$\frac{{y’}}{{{y^2}}} + \frac{1}{x}\frac{1}{y} =  – 1$

$\frac{1}{y} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {y^{ – 1}} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} – {y^{ – 2}}y’ = z'{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \frac{{y’}}{{{y^2}}} =  – z’$

$ – z’ + \frac{1}{x}z =  – 1{\text{      }}{\text{      }} {\rm{   /:}}\left( { – 1} \right)$

$z’ – \frac{1}{x}z = 1$

$z = uv {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{1}{x}uv = 1$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{1}{x}v} \right) = 1$

$v’ – \frac{1}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{1}{x}dx {\text{      }}{\text{      }} {\rm{   /}}\int {} $

$\ln \left| v \right| = \ln \left| x \right|$

$v = x$

$u’x = 1$

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{x}$

$du = \frac{1}{x}dx{\text{      }}{\text{      }} {\rm{   /}}\int {} $

$u = \ln \left| x \right| + \ln C$

$u = \ln xC$

\[z = uv = x\ln xC\]

\[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{x\ln xC}}\]

Уврштавајући почетни услов

$\frac{1}{2} = \frac{1}{{1 \cdot \ln 1 \cdot C}} \Rightarrow \ln C = 2 \Rightarrow C = {e^2}$

\[y = \frac{1}{{x\left( {\ln x + 2} \right)}}\]

3. Одреди опште решење диференцијалне једначине $y’ + \frac{2}{x}y = \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}}$.

$y’ + \frac{2}{x}y = \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:{y^3}$

$\frac{{y’}}{{{y^3}}} + \frac{2}{x}\frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}}$

$\frac{1}{{{y^2}}} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {y^{ – 2}} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} – 2{y^{ – 3}}y’ = z'{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \frac{{y’}}{{{y^3}}} = \frac{{z’}}{{ – 2}}$

$\frac{{z’}}{{ – 2}} + \frac{2}{x}z = \frac{1}{{{x^2}}}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} / \cdot \left( { – 2} \right)$

$z’ – \frac{4}{x}z =  – \frac{2}{{{x^2}}}$

$z = uv{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{4}{x}uv =  – \frac{2}{{{x^2}}}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{4}{x}v} \right) =  – \frac{2}{{{x^2}}}$

$v’ – \frac{4}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{4}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{4}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = 4\ln \left| x \right|$

$v = {x^4}$

$u'{x^4} =  – \frac{2}{{{x^2}}}$

$\frac{{du}}{{dx}} =  – \frac{2}{{{x^6}}}$

$du =  – \frac{2}{{{x^6}}}dx{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$u =  – 2\int {{x^{ – 6}}dx} $

$u = \frac{2}{{5{x^5}}} + C$

\[z = uv = \frac{2}{{5x}} + C{x^4}\]

\[y = \frac{1}{{\sqrt z }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{5x}} + C{x^4}} }}\]

4. Одреди опште решење диференцијалне једначине $xy’ + y = {y^2}\ln x$.

$xy’ + y = {y^2}\ln x{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:x$

$y’ + \frac{1}{x}y = {y^2}\frac{{\ln x}}{x}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:{y^2}$

$\frac{{y’}}{{{y^2}}} + \frac{1}{x}\frac{1}{y} = \frac{{\ln x}}{x}$

$\frac{1}{y} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {y^{ – 1}} = z{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} – {y^{ – 2}}y’ = z'{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \frac{{y’}}{{{y^2}}} =  – z’$

$ – z’ + \frac{1}{x}z = \frac{{\ln x}}{x}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} / \cdot \left( { – 1} \right)$

$z’ – \frac{1}{x}z =  – \frac{{\ln x}}{x}$

$z = uv{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{1}{x}uv =  – \frac{{\ln x}}{x}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{1}{x}v} \right) =  – \frac{{\ln x}}{x}$

$v’ – \frac{1}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{1}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = \ln \left| x \right|$

$v = x$

$u’x =  – \frac{{\ln x}}{x}$

$\frac{{du}}{{dx}} =  – \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$

$du =  – \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$u =  – \int {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\ln x = t \Rightarrow x = {e^t}}\\
{\frac{1}{x}dx = dt}
\end{array}} \right| =  – \int {\frac{t}{{{e^t}}}} dt = $

${\text{      }}{\text{      }}  =  – \int {t{e^{ – t}}dt}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = t}&{dv = {e^{ – t}}dt}\\
{du = dt}&{v =  – {e^{ – t}}}
\end{array}} \right| = $

$ {\text{      }}{\text{      }} =  – \left( { – t{e^t} + \int {{e^{ – t}}dt} } \right) = t{e^t} + {e^t} + C = $

$ {\text{      }}{\text{      }} = x\ln x + x + C$

\[z = uv = {x^2}\ln x + {x^2} + Cx\]

\[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{{x^2}\ln x + {x^2} + Cx}}\]

5. Одреди опште решење диференцијалне једначине $xy’ – 4y – {x^2}\sqrt y $.

$xy’ – 4y – {x^2}\sqrt y  = 0{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /:x$

$y’ – \frac{4}{x}y = x\sqrt y {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:\sqrt y $

$\frac{{y’}}{{\sqrt y }} – \frac{4}{x}\sqrt y  = x$

$\sqrt y  = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {y^{\frac{1}{2}}} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \frac{1}{2}{y^{ – \frac{1}{2}}}y’ = z'{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \frac{{y’}}{{\sqrt y }} = 2z’$

$2z’ – \frac{4}{x}z = x{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:2$

$z’ – \frac{2}{x}z = \frac{x}{2}$

$z = uv {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{2}{x}uv = \frac{x}{2}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{2}{x}v} \right) = \frac{x}{2}$

$v’ – \frac{2}{x}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{2}{x}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{2}{x}dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = 2\ln \left| x \right|$

$v = {x^2}$

$u'{x^2} = \frac{x}{2}$

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{2x}}$

$du = \frac{1}{{2x}}dx{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$u = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\ln C$

$u = \ln \sqrt {xC} $

\[z = uv = {x^2}\ln \sqrt {xC} \]

\[y = {z^2} = {x^4}{\ln ^2}\sqrt {xC} \]

6. Одреди оно партикуларно решење диференцијалне једначине $xdx = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} – {y^3}} \right)dy$,  које задовољава почетни услов  $y\left( 2 \right) = 1$.

Ову диференцијалну једначину није могуће свести на Бернулијеву диференцијалну једначину по  $y$,  па ћемо је покушати свести на Бернулијеву дј по  $x$,  односно на диференцијалну једначину облика  $x’ + f\left( y \right)x = g\left( y \right){x^\alpha }$.

$x\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{{x^2}}}{y} – {y^3}$

$xx’ = \frac{{{x^2}}}{y} – {y^3}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} /:x$

$x’ = \frac{1}{y}x – \frac{{{y^3}}}{x}$

$x’ – \frac{1}{y}x =  – \frac{{{y^3}}}{x}$

$x’ – \frac{1}{y}x =  – \frac{{{y^3}}}{x}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} / \cdot x$

$xx’ – \frac{1}{y}{x^2} =  – {y^3}$

${x^2} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} {\rm{   2}}xx’ = z'{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} xx’ = \frac{{z’}}{2}$

$\frac{{z’}}{2} – \frac{1}{y}z =  – {y^3}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} / \cdot 2$

$z’ – \frac{2}{y}z =  – 2{y^3}$

$z = uv{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ – \frac{2}{y}uv =  – 2{y^3}$

$u’v + u\left( {v’ – \frac{2}{y}v} \right) =  – 2{y^3}$

$v’ – \frac{2}{y}v = 0$

$\frac{{dv}}{{dy}} = \frac{2}{y}v$

$\frac{{dv}}{v} = \frac{2}{y}dy{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$\ln \left| v \right| = 2\ln \left| y \right|$

$v = {y^2}$

$u'{y^2} =  – 2{y^3}$

$\frac{{du}}{{dy}} =  – 2y$

$du =  – 2ydy{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} /\int {} $

$u =  – 2\frac{{{y^2}}}{2} + C$

$u =  – {y^2} + C$

\[z =  – {y^4} + C{y^2}\]

\[x = \sqrt z  = \sqrt { – {y^4} + C{y^2}}  = y\sqrt {C – {y^2}} \]

Уврштавајући почетни услов

$2 = 1 \cdot \sqrt {C – 1}  \Rightarrow C = 5$

\[x = y\sqrt {5 – {y^2}} \]

7. Одреди опште решење диференцијалне једначине $y’ – ytgx + {y^2}\cos x = 0$.

$y’ – ytgx =  – {y^2}\cos x{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}/:{y^2}$

$\frac{{y’}}{{{y^2}}} – tgx \cdot \frac{1}{y} =  – \cos x$

$\frac{1}{y} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {y^{ – 1}} = z{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} – {y^{ – 2}}y’ = z'{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \frac{{y’}}{{{y^2}}} =  – z’$

$ – z’ – tgx \cdot z =  – \cos x{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}/ \cdot \left( { – 1} \right)$

$z’ + tgx \cdot z = \cos x$

$z = uv{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} z’ = u’v + uv’$

$u’v + uv’ + tgxuv = \cos x$

$u’v + u\left( {v’ + tgxv} \right) = \cos x$

$v’ + tgxv = 0$

$\frac{{dv}}{{dx}} =  – tgxv$

$\frac{{dv}}{v} =  – tgxdx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}/\int {} $

$\int {\frac{{dv}}{v}}  =  – \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} $

${\text{      }}{\text{      }}{\text{      }}{\text{      }}{\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }}{\text{      }}{\text{      }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = t}\\
{ – \sin xdx = dt}
\end{array}} \right|$

$\ln \left| v \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} $

$\ln \left| v \right| = \ln \left| t \right|$

$v = t$

$v = \cos x$

$u’\cos x = \cos x$

$\frac{{du}}{{dx}} = 1$

$du = dx{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}/\int {} $

$u = x + C$

\[z = uv = \left( {x + C} \right)\cos x\]

\[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{\left( {x + C} \right)\cos x}}\]