Функције – изводи вишег реда 2

Изводи вишег реда. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3) Одредити други извод функције:

$y = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{x - 1}}$

Пр.4) $y = \ln \sqrt {1 - {x^2}}$

Пр.5) $y = arctg\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

Пр.3) $y = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{x - 1}}$

$\begin{aligned}&y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^\prime }\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \\ &= \frac{{\left( {4x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \\ &= \frac{{4{x^2} - 4x - 2x + 1 - 2{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&y'' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)}^\prime }{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {2{x^2} - 4x + 1} \right){{\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \\ &= \frac{{\left( {4x - 4} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \\ &= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\left( {4x - 4} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - 4x + 1} \right)2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \\ &= \frac{{\left( {4{x^2} - 4x - 4x + 4 - 4{x^2} + 8x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\end{aligned}$

Пр.4) $y = \ln \sqrt {1 - {x^2}}$

$\begin{aligned}&y' = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)^\prime } = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\left( {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \\ &= \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\frac{1}{2}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{1}{2} - 1}}{\left( {1 + {x^2}} \right)^\prime } = \frac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} \sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{x}{{1 + {x^2}}} \\ &y'' = \frac{{x'\left( {1 + {x^2}} \right) - {{\left( {1 + {x^2}} \right)}^\prime }x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 2x \cdot x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\end{aligned}$

Пр.5) $y = arctg\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

$\begin{aligned}&y' = \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)}^2}}}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{1 - {x^2}}}}}\left( {\frac{{x'\sqrt {1 - {x^2}} - {{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^\prime }x}}{{{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}}}} \right) = \\ &= \frac{1}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{1 - {x^2}}}}}\left( {\frac{{x'\sqrt {1 - {x^2}} - {{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^\prime }x}}{{{{\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}}}} \right) = \\ &= \frac{1}{{\frac{{1 - {x^2} + {x^2}}}{{1 - {x^2}}}}} \cdot \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x\frac{1}{2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{1 - {x^2}}} = \\ &= \frac{{1 - {x^2}}}{1} \cdot \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x\frac{1}{2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}\left( { - 2x} \right)}}{{1 - {x^2}}} = \\ &= \sqrt {1 - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\end{aligned}$

$y'' = - \frac{1}{2}{\left( {1 - {x^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}{\left( {1 - {x^2}} \right)^\prime } = - \frac{{ - 2x}}{{2{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{x}{{{{\sqrt {\left( {1 - {x^2}} \right)} }^3}}}$

Други извод рачунате тек кад први извод потпуно средите. Заједнички чинилац у бројиоцу скратите са имениоцем, јер ће следеће извођење тада бити много краће. За $y = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x - 1}$ први извод је $\frac{2x^2 - 4x + 1}{(x - 1)^2}$ , а после скраћивања са $x - 1$ добија се $y'' = \frac{2}{(x - 1)^3}$ . Логаритам корена прво поједноставите: $\ln\sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{2}\ln(1 - x^2)$ , па је $y' = -\frac{x}{1 - x^2}$ и $y'' = -\frac{1 + x^2}{(1 - x^2)^2}$ . Понекад први извод испадне изненађујуће једноставан: $\left(\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

Међурезултате проверите тако што у облик пре и после сређивања уврстите исти број, на пример $x = 0$ . Знак другог извода касније говори да ли је график конвексан или конкаван.

Време2 s

Угао θ: 45°
Угаона брзина θ′(t): 0,25 rad/s
Угаоно убрзање θ″(t): −0,125 rad/s²

Нагиб тангенте је угаона брзина

\theta'

. Највећа је у

t = 0

, где је

\theta'' = 0

и график мења закривљеност: пре тога камера убрзава окретање, а после успорава.

Други извод мери колико брзо се мења брзина промене: у физици је то убрзање, а код камере која прати возило показује колико нагло мотор камере мора да убрзава или успорава окретање.

Камера прати аутомобил

Камера стоји 30 m од праве деонице тркачке стазе и прати аутомобил који вози брзином од 15 m/s. Ако се време $t$ мери од тренутка кад је аутомобил најближи камери, угао за који се камера окренула је $\theta(t) = \operatorname{arctg}\frac{t}{2}$ радијана. Израчунајте угаону брзину $\theta'$ и угаоно убрзање $\theta''$ камере у тренутку $t = 2$ s.

Решење

По правилу сложене функције: $\theta'(t) = \frac{1}{1 + \frac{t^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4 + t^2}$ .
Сређени први извод пишемо као $2(4 + t^2)^{-1}$ , па је $\theta''(t) = -2(4 + t^2)^{-2} \cdot 2t = -\frac{4t}{(4 + t^2)^2}$ .
За $t = 2$ : $\theta'(2) = \frac{2}{8} = 0{,}25$ и $\theta''(2) = -\frac{8}{64} = -0{,}125$ .
Знак минус значи да камера успорава окретање. Највећу угаону брзину, $\theta'(0) = 0{,}5$ радијана у секунди, има кад је аутомобил најближи.

Одговор: У тренутку $t = 2$ s камера се окреће брзином од 0,25 радијана у секунди, а угаоно убрзање је $-0{,}125$ радијана у секунди на квадрат, па окретање успорава.

Задатак за вежбу

Одредите други извод функције $y = \frac{x^2}{x + 1}$ и израчунајте $y''(1)$ .

Прикажи решење

Дељењем је $y = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$ , па је $y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2}$ и $y'' = \frac{2}{(x + 1)^3}$ . Дакле $y''(1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .