Функције – извод функције 4

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.7)   Израчунати извод функције $y = 7{x^2} - 3x + 14$.

Пр.8)   Израчунати извод функције $y = 2{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2x}} - \frac{1}{2}$.

Пр.9)   Пронаћи извод функције $y = 4\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt x  - 0,5$.

Пр.10)   Пронаћи извод функције $y = 2{x^2}\sqrt x  - \frac{{x\sqrt[3]{x}}}{2}$.

Пр.7)  $y = 7{x^2} - 3x + 14$

$y' = {\left( {7{x^2}} \right)^\prime } - {\left( {3x} \right)^\prime } + {\left( {14} \right)^\prime } = 7{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - 3{\left( x \right)^\prime } + 0 = 14x - 3 \cdot 1 = 14x - 3$

Пр.8)   $y = 2{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2x}} - \frac{1}{2}$

$y' = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{2x}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^\prime } = 2{\left( {{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {2{x^{ - 2}}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{2}{x^{ - 1}}} \right)^\prime } - 0 = $

$ = 6{x^2} + 4{x^{ - 3}} - \frac{1}{2}{x^{ - 2}} = 6{x^2} + \frac{4}{{{x^{ - 3}}}} - \frac{1}{{2{x^{ - 2}}}}$

Пр.9)   $y = 4\sqrt[3]{{{x^2}}} - 2\sqrt[3]{x} + \sqrt x  - 0,5$.

$y' = {\left( {4\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)^\prime } - {\left( {2\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } - {\left( {0,5} \right)^\prime } = {\left( {4{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } - {\left( {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^\prime } + {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^\prime } - 0 = $

$ = 4 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} - 1}} - 2 \cdot \frac{1}{3}{x^{\frac{1}{3} - 1}} + \frac{1}{2}{x^{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{8}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} + \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{8}{{3{x^{\frac{1}{3}}}}} - \frac{2}{{3{x^{\frac{2}{3}}}}} + \frac{1}{{2{x^{\frac{1}{2}}}}} = $

$ = \frac{8}{{3\sqrt[3]{x}}} - \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}$

Пр.10)   $y = 2{x^2}\sqrt x  - \frac{{x\sqrt[3]{x}}}{2}$

$y' = {\left( {2{x^2}\sqrt x } \right)^\prime } - {\left( {\frac{{x\sqrt[3]{x}}}{2}} \right)^\prime } = 2{\left( {{x^2}\sqrt x } \right)^\prime } - \frac{1}{2}{\left( {x\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } = 2{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^\prime } - \frac{1}{2}{\left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)^\prime } = $

$ = 2 \cdot \frac{5}{2}\left( {{x^{\frac{5}{2} - 1}}} \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\left( {{x^{\frac{4}{3} - 1}}} \right) = 5{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 5\sqrt {{x^3}}  - \frac{2}{3}\sqrt[3]{x}$