Функције – испитивање функција 3

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.3)    Испитати функцију $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$.

1. Домен функције               

$Df:{x^2} \ne 0 \wedge x > 0$

$Df:x \in \left( {0; + \infty } \right)$

2. Нуле функције

$f\left( x \right) = 0$

$\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} = 0$

$\ln x = 0 \wedge {x^2} \ne 0$

$x = 1$

$A\left( {1;0} \right)$

3. Пресек са y-осом

За $x = 0$ функција није дефинисана. Нема пресека са y-осом.

4. Знак функције

$y > 0$    $x \in \left( {1; + \infty } \right)$

$y < 0$    $x \in \left( {0;1} \right)$

5. Парност

$f\left( { - x} \right) = \frac{{\ln \left( { - x} \right)}}{{{{\left( { - x} \right)}^2}}} = \frac{{\ln \left( { - x} \right)}}{{{x^2}}} \ne f\left( x \right)$

$ - f\left( x \right) =  - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} \ne f\left( { - x} \right)$

Функција није парна и није непарна.

6. Асимптоте

В.А.

$f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} = \frac{{ - \infty }}{{{0^ + }}} =  - \infty $

$x = 0$ вертикална асимптота.

Х.А.

$\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} = \frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{2{x^2}}} = 0$

$y = 0$ хоризонтална асимптота.

7. Монотоност и екстремне вредности

$f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$

$f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^\prime }{x^2} - \ln x{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{x^4}}} = \frac{{\frac{1}{x}{x^2} - 2x\ln x}}{{{x^4}}} = \frac{{x\left( {1 - 2\ln x} \right)}}{{{x^3}}} = \frac{{1 - 2\ln x}}{{{x^3}}}$

\[\begin{gathered}
\frac{{1 - 2\ln x}}{{{x^3}}} = 0 \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - 2\ln x = 0}&{}& \wedge &{{x^3} \ne 0} \\
{2\ln x = 1}&{}&{}&{x \ne 0} \\
{\ln x = \frac{1}{2}}&{}&{}&{} \\
{x = \sqrt e }&{}&{}&{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

 ${T_{\max }}\left( {\sqrt e ;\frac{1}{{2e}}} \right)$

8. Конвексност и превојне тачке

$f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$

$f'\left( x \right) = \frac{{1 - 2\ln x}}{{{x^3}}}$

$f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( {1 - 2\ln x} \right)}^\prime }{x^3} - {{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }\left( {1 - 2\ln x} \right)}}{{{x^6}}} = \frac{{\left( { - 2\frac{1}{x}} \right){x^3} - 3{x^2}\left( {1 - 2\ln x} \right)}}{{{x^6}}} = $

$ = \frac{{ - 2{x^2} - 3{x^2} + 6{x^2}\ln x}}{{{x^6}}} = \frac{{{x^2}\left( { - 2 - 3 + 6\ln x} \right)}}{{{x^6}}} = \frac{{\left( { - 5 + 6\ln x} \right)}}{{{x^4}}} = \frac{{6\ln x - 5}}{{{x^4}}}$

\[\begin{gathered}
\frac{{6\ln x - 5}}{{{x^4}}} = 0 \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{6\ln x - 5 = 0}& \wedge &{{x^4} \ne 0} \\
{6\ln x = 5}&{}&{x \ne 0} \\
\begin{gathered}
\ln x = \frac{5}{6} \hfill \\
x = \sqrt[6]{{{e^5}}} \hfill \\
\end{gathered} &{}&{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

$P\left( {\sqrt[6]{{{e^5}}};\frac{5}{{6\sqrt[3]{{{e^5}}}}}} \right)$