Функције – испитивање функција 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Испитати функцију $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$.

Пр.1)  

1. Домен функције                Df:  ${x^2} - 1 \ne 0$

\[\begin{gathered}
\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0 \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 1 \ne 0}&{}&  \wedge  &{x + 1 \ne 0} \\
{x \ne 1}&{}&{}&{x \ne - 1}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

$Df:\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$

2. Нуле функције

$f\left( x \right) = 0$

$\frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0$

$x = 0$

$A\left( {0;0} \right)$

3. Пресек са y-осом

$x = 0;y = 0$

$A\left( {0;0} \right)$

4. Знак функције

$\frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0$

$x = 0;x \ne  \pm 1$

$y > 0$    $x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$

$y < 0$    $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right)$

5. Парност

$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$

$f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x}}{{{{\left( { - x} \right)}^2} - 1}} =  - \frac{x}{{{x^2} - 1}} =  - f\left( x \right)$ непарна функција

6. Асимптоте

В.А.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ + } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ + }}} =  - \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - {1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{1^ - } - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{0^ - }}} =  + \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ - }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ - } - 1}} = \frac{1}{{{0^ - }}} =  - \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {{1^ + }} \right)}^2} - 1}} = \frac{1}{{{1^ + } - 1}} = \frac{1}{{{0^ + }}} =  + \infty $

Х.А.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x:{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 1} \right):{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{{1 - 0}} = \frac{0}{1} = 0$

хоризонтална асимптота је $y = 0$

7. Монотоност и екстремне вредности

$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$

$f'\left( x \right) = \frac{{x'\left( {{x^2} - 1} \right) - x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 1 - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}$

$\frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = 0$

$x \ne  \pm 1$

8. Конвексност и превојне тачке

$f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$

$f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}$

$f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 1} \right)}^\prime }{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - {{\left( {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot 2x\left( { - {x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = $

$ = \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^4}}} = \frac{{ - 2x\left( {{x^2} - 1 + 2\left( { - {x^2} - 1} \right)} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = \frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}$

$\frac{{2x\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}} = 0$

$x = 0;x \ne  \pm 1$

превојна тачка је $P\left( {0;0} \right)$

9. График функције