Ваљак, купа, лопта

Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Израчунај површину ваљка ако је његова запремина $100\pi c{m^3}$ , а пречник основе 20 cm.

Пр.2) Осни пресек ваљка је квадрат површине 100 cm². Израчунај површину и запремину ваљка.

Пр.3) Правоугаоник чија је једна страница 9 cm и дијагонала 15 cm ротира око веће странице. Израчунај површину и запремину тако насталог тела.

Пр.4) Површина омотача и површина базе ваљка су у размери 6:1. Израчунај запремину ваљка ако је његова површина $200\pi c{m^3}$ .

Пр.5) Како се односе запремине описаног и уписаног ваљка у правилну тространу призму?

Пр.6) Израчунај површину купе ако је висина купе 12 cm, а запримина купе $100\pi c{m^3}$ .

Пр.7) Израчунај површину и запремину купе ако је осни пресек је једнакостраничан троугао површине $36\sqrt 3 c{m^2}$ .

Пр.8) Израчунај површину и запремину купе ако је осни пресек је једнакокрако правоугли троугао површине $32 c{m^2}$ .

Пр.9) Пречник лопте од пластелина је 8 cm. Ако се од те лопте направи купа чији пречник основе једнак пречнику лопте, колика је висина те купе?

Пр.10) Полупречник лопте је 4 cm. Ако се полупречник повећа за 3 cm, за колико ће се повећати површина лопте?

Пр.11) Израчунај површине тела приказаних на скици.

354

Које тело има највећу, а које најмању површину?

Ваљак: $P = 2B + M = 2r^2\pi + 2r\pi H$ и $V = r^2\pi H$ . Купа: изводница $s$ , полупречник $r$ и висина $H$ граде правоугли троугао, $s^2 = r^2 + H^2$ ; површина је $P = r^2\pi + r\pi s$ , а запремина $V = \frac{1}{3} r^2\pi H$ . Лопта: $P = 4r^2\pi$ и $V = \frac{4}{3} r^3\pi$ .

Осни пресек ваљка је правоугаоник са страницама $2r$ и $H$ (код једнакостраничног ваљка квадрат), а осни пресек купе једнакокраки троугао основице $2r$ . Правоугаоник који ротира око једне странице даје ваљак: та страница је висина, а друга полупречник. Кад се тело претопи у друго, запремина остаје иста. Најчешћа грешка је да се у формулу уврсти пречник уместо полупречника.

Полупречник r3 cm

Висина H12 cm

Запремина купе: 113,1 cm³
Запремина лопте полупречника r: 113,1 cm³
Изводница s: 12,37 cm
Површина купе: 144,9 cm²

Кад је висина купе четири пута већа од полупречника,

H = 4r

, купа и лопта истог полупречника имају исту запремину. За

r = 3

и

H = 12

обе имају

36\pi \approx 113{,}1

cm³, као у примеру.

Ове формуле користе произвођачи конзерви и амбалаже, инжењери кад рачунају запремину цистерни, силоса и цеви, а посластичари кад процењују колико сладоледа стаје у корнет.

Сладолед у корнету

Кугла сладоледа има полупречник 3 cm, а корнет је купа полупречника основе 3 cm и висине 12 cm. Сладолед се сав отопи и исцури у корнет. Да ли ће се корнет прелити, ако узмемо да отопљени сладолед има исту запремину као кугла?

Решење

Запремина кугле: $V_1 = \frac{4}{3} r^3 \pi = \frac{4}{3} \cdot 27\pi = 36\pi$ cm³.
Запремина корнета: $V_2 = \frac{1}{3} r^2 \pi H = \frac{1}{3} \cdot 9\pi \cdot 12 = 36\pi$ cm³.
Запремине су једнаке: $36\pi \approx 113{,}1$ cm³.

Одговор: Отопљени сладолед ће напунити корнет тачно до врха, па се неће прелити.

Задатак за вежбу

Канта облика ваљка има пречник основе 30 cm и висину 40 cm. Колико литара воде стане у њу?

Прикажи решење

$r = 15$ cm, $V = 15^2 \pi \cdot 40 = 9000\pi \approx 28\,274$ cm³. Пошто је 1 l = 1000 cm³, у канту стане око 28,3 l.