Пропорционалност

Директна и обрнута пропорционалност. Пропорције. Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) Колико је потребно брашна на 75kg хлеба ако се од 4kg брашна

добије 5kg хлеба?

Пр.2) Гуска и по снесе јаје и по за дан и по. Колико ће јаја снети седам

гусака за шест дана?

Пр.3) Ако 120 радника заврши неки посао за 12 дана, радећи дневно

по 8 сати, колико је потребно радника да би се тај посао завршио

за 10 дана радећи дневно по 6 сати?

Две величине су директно пропорционалне ако се, кад се једна повећа неколико пута, и друга повећа исто толико пута: количник им је сталан, $\frac{y}{x} = k$ . Обрнуто су пропорционалне ако се друга исто толико пута смањи: производ им је сталан, $x \cdot y = k$ . Задатак решавате пропорцијом $a : b = c : d$ , у којој је производ спољашњих чланова једнак производу унутрашњих, $a \cdot d = b \cdot c$ .

Код сложеног правила тројног има више величина, на пример радници, дани и сати. За сваки пар посебно одредите да ли је веза директна или обрнута, или израчунајте цео посао у радник-сатима. Најчешћа грешка је да се обрнута пропорционалност рачуна као директна: више радника не значи више дана.

Број радника4

Сати рада дневно10 h

Број дана: 12
Радници · дани · сати: 480

Број дана је обрнуто пропорционалан броју радника: двоструко више радника заврши посао за упола краће време, а производ радника, дана и сати увек је 480. Са 4 радника по 10 сати посао траје 12 дана, као у примеру.

Пропорције користе кувари кад рецепт прерачунавају за више особа, грађевинари кад процењују колико радника и дана треба за посао, а возачи кад рачунају колико горива им треба за пут.

Поплочавање дворишта

Шест радника поплоча школско двориште за 10 дана радећи по 8 сати дневно. За колико дана исти посао заврше четири радника ако раде по 10 сати дневно?

Решење

Цео посао меримо у радник-сатима: $6 \cdot 10 \cdot 8 = 480$ радник-сати.
Четири радника по 10 сати дневно ураде $4 \cdot 10 = 40$ радник-сати на дан.
Број дана: $480 : 40 = 12$ .
Исто даје и сложено правило тројно. Мање радника значи више дана, а дужи радни дан мање дана; обе везе су обрнуте: $x = 10 \cdot \frac{6}{4} \cdot \frac{8}{10} = 12$ .

Одговор: Четири радника ће поплочати двориште за 12 дана.

Задатак за вежбу

Ауто троши 6,5 l горива на 100 km. Колико литара горива треба за пут од Београда до Ниша, дуг око 240 km?

Прикажи решење

Потрошња је директно пропорционална путу: $100 : 240 = 6{,}5 : x$ , па је $x = \frac{240 \cdot 6{,}5}{100} = 15{,}6$ l.