Подударност, осна симетрија

Решени задаци. Снимак предавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео предавању.

Пр.1) За коју праву можеш рећи да је оса симетрије нацртаних фигура?

355

Пр.2) Придружи тачкама $A,B,C$ симетричне тачке у односу на осу $s$ .

356

Пр.3) Нацртај:

правоугаоник,
квадрат,
круг.

На свакој фигури истакни њене осе симетрије. Да ли су у случају 3) могу нацртати све осе симетрије?

Пр.4) Које од следећих фигура су осно симетричне:

1) дуж	2) права	3) круг
4) угао	5) раван?

Пр.5) Датим фигурама на слици придружи симетричне у односу на осу симетрије $s$ .

Тачке $A$ и $A'$ су симетричне у односу на праву $s$ ако је $s$ симетрала дужи $AA'$ : дуж $AA'$ је нормална на $s$ , а $s$ је полови. Тачка која лежи на оси пресликава се у саму себе. Осна симетрија чува дужине и углове, па су фигура и њена слика подударне. Да бисте пресликали дуж или многоугао, пресликајте само темена и спојите их истим редом.

Оса симетрије фигуре је права која фигуру пресликава у саму себе. Дуж има две осе, угао једну (своју симетралу), правоугаоник две, квадрат четири, а круг бесконачно много, јер је оса свака права кроз центар. Честа грешка код косе осе: тачку треба померати нормално на осу, а не водоравно.

AP + PB: 1166 m
Најкраће могуће, A′B: 1131 m
AP: 583 m
A′P: 583 m

Тачка

A'

је слика куће

A

, па је

AP = A'P

где год да је

P

. Збир

AP + PB

је најмањи кад је

P

на дужи

A'B

: померите

P

и проверите да је за почетни положај кућа најмањи збир 1131 m. Једна јединица мреже је 100 m.

Осну симетрију користе архитекте и дизајнери кад цртају симетричне фасаде и знакове, кројачи кад кроје пресавијену тканину, а пројектанти кад траже најкраћи пут до неке праве, на пример до обале или пута.

Најкраћа цев до реке

Две куће су на истој страни праве обале реке: кућа $A$ је 300 m од обале, а кућа $B$ 500 m. Њихова подножја на обали удаљена су 800 m. На обали треба поставити пумпу $P$ и од ње положити цеви до обе куће, тако да укупна дужина $AP + PB$ буде најмања. Колика је та дужина?

Решење

Пресликамо кућу $A$ осном симетријом у односу на обалу у тачку $A'$ , 300 m на другој страни. За сваку тачку $P$ на обали је $AP = A'P$ , јер симетрија чува дужине.
Зато је $AP + PB = A'P + PB$ , а тај збир је најмањи кад $A'$ , $P$ и $B$ леже на једној правој.
Дуж $A'B$ је хипотенуза правоуглог троугла са катетама 800 m (дуж обале) и $300 + 500 = 800$ m (попреко): $A'B = \sqrt{800^2 + 800^2} = 800\sqrt{2} \approx 1131$ m.
Где је пумпа? Тамо где дуж $A'B$ сече обалу. Троугао са теменима $A'$ , $P$ и подножјем куће $A$ сличан је троуглу са теменима $B$ , $P$ и подножјем куће $B$ : оба су правоугла, а углови код $P$ су унакрсни. Зато $P$ дели 800 m обале у размери $300 : 500 = 3 : 5$ , па је $800 \cdot \frac{3}{8} = 300$ m од подножја куће $A$ .

Одговор: Најкраће цеви су дугачке $800\sqrt{2} \approx 1131$ m, а пумпа је на обали 300 m од подножја куће $A$ .

Задатак за вежбу

Пресликајте тачке $A(1; 4)$ , $B(3; 1)$ и $C(5; 3)$ осном симетријом у односу на $x$ -осу. Које су координате слика и да ли је троугао $A'B'C'$ подударан троуглу $ABC$ ?

Прикажи решење

Код симетрије у односу на $x$ -осу координата $x$ остаје иста, а $y$ мења знак: $A'(1; -4)$ , $B'(3; -1)$ , $C'(5; -3)$ . Троуглови су подударни, јер осна симетрија чува дужине страница.