Површина и запремина ваљка. Ваљак уписан у призму, ваљак описан око призме. Решени задаци.
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.1) Пречник основе правог ваљка је 12cm, а дијагонала осног пресека ваљка 13cm. Израчунати површину и запремину правилне тростране призме уписане у ваљак.
Пр.2) У правилну четворострану призму запремине $128c{m^3}$ и дијагонале основе $4\sqrt 2 cm$ уписан је ваљак. Одреди површину ваљка.
Пр.3) Разлика висине и полупречника основе правог ваљка је 10cm. Израчунати запремину ваљка, ако знамо да је његова површина $144\pi c{m^2}$.
Пр.1) Означимо висину призме са ${H_p}$, висину ваљка са ${H_v}$. Онда ${H_p} = {H_v} = H$. $D$ је дијагонала осног пресека ваљка, $R$ је пречник основе ваљка, $r$ је полупречник основе ваљка, $a$ je страница базе призме,а ${h_a}$ је висина базе призме.

У плавом троуглу:
\[\begin{gathered}
{H^2} = {D^2} - {R^2} \hfill \\
{H^2} = 169 - 144 \hfill \\
{H^2} = 25 \hfill \\
H = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Израчунамо страницу троугла $a$
\[\begin{gathered}
r = 6cm \hfill \\
\frac{2}{3}{h_a} = 6 \hfill \\
\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 6 \hfill \\
\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = 6 \hfill \\
a = 6\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Сад можемо израчунати површину и запремину призме.
\[\begin{gathered}
P = 2B + M \hfill \\
P = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3aH \hfill \\
P = 2\frac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} + 3 \cdot 6\sqrt 3 \cdot 5 \hfill \\
P = 54\sqrt 3 + 90\sqrt 3 \hfill \\
P = 144\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
V = BH \hfill \\
V = 27\sqrt 3 \cdot 5 \hfill \\
V = 135\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.2)

\[\begin{gathered}
d = 4\sqrt 2 \hfill \\
{d^2} = {a^2} + {a^2} \hfill \\
32 = 2{a^2} \hfill \\
{a^2} = 16 \hfill \\
a = 4cm \hfill \\
r = \frac{a}{2} = 2cm \hfill \\
\hfill \\
{V_n} = 128 \hfill \\
BH = 128 \hfill \\
{a^2}H = 128 \hfill \\
16H = 128 \hfill \\
H = 8cm \hfill \\
\hfill \\
P = 2B + M \hfill \\
P = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot H \hfill \\
P = 2 \cdot {2^2}\pi + 2 \cdot 2\pi \cdot 8 \hfill \\
P = 8\pi + 32\pi \hfill \\
P = 40\pi c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.3)

\[\begin{gathered}
H - r = 10cm \hfill \\
H = 10 + r \hfill \\
P = 2B + M \hfill \\
P = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot H \hfill \\
P = 2{r^2}\pi + 2r\pi \cdot \left( {10 + r} \right) \hfill \\
144\pi = 2{r^2}\pi + 20r\pi + 2{r^2}\pi \hfill \\
144\pi = 4{r^2}\pi + 20r\pi \hfill \\
144\pi = 4\pi \left( {{r^2} + 5r} \right) \hfill \\
36 = {r^2} + 5r \hfill \\
{r^2} + 5r - 36 = 0 \hfill \\
{r_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 + 144} }}{2} \hfill \\
{r_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm 13}}{2} \hfill \\
{r_1} = - 9 \hfill \\
{r_2} = 4cm \hfill \\
\hfill \\
H = 10 + r \hfill \\
H = 10 + 4 \hfill \\
H = 14cm \hfill \\
\hfill \\
V = B \cdot H \hfill \\
V = {r^2}\pi \cdot H \hfill \\
V = {4^2}\pi \cdot 14 \hfill \\
V = 224\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]