Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Скаларни производ вектора – примери 4

Угао између вектора, интензитет вектора. Услов нормалности вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7)   Одредити дужине дијагонала паралелеограма конструисаног над векторима a→\overrightarrow a и b→\overrightarrow b ако је a→=5p→+2q→,b→=p→−3q→\overrightarrow a = 5\overrightarrow p + 2\overrightarrow q ,\overrightarrow b = \overrightarrow p - 3\overrightarrow q и ∣p→∣−22,∣q→∣−3,<(p→,q→)=π4\left| {\overrightarrow p } \right| - 2\sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow q } \right| - 3, < \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{\pi }{4}

Пр.7)

392 png

∣d1→∣,∣d2→∣=?d1→=a→+b→=5p→+2q→+p→−3q→=6p→−q→d2→=−a→+b→=−5p→−2q→+p→−3q→=−4p→−5q→∣d1→∣2=d1→⋅d1→=(6p→−q→)(6p→−q→)=36p→⋅p→−6p→⋅q→−6q→⋅p→+q→⋅q→==36∣p→∣2−12p→⋅q→+∣q→∣2=36∣p→∣2−12∣p→∣∣q→∣⋅cos⁡∡(p→,q→)+∣q→∣2=36⋅8−12⋅6+9==288−72+9∣d1→∣2=225∣d1→∣=15∣d2→∣2=d2→⋅d2→=(−4p→−5q→)(−4p→−5q→)=16p→⋅p→+20p→⋅q→+20q→⋅p→+25q→⋅q→==16∣p→∣2+40p→⋅q→+25∣q→∣2=16⋅8+40⋅6+25⋅9=36⋅8−12⋅6+9=593∣d2→∣2=593∣d2→∣=593\begin{aligned}&\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|,\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right| = ? \\ &\overrightarrow {{d_1}} = \overrightarrow a + \overrightarrow b = 5\overrightarrow p + 2\overrightarrow q + \overrightarrow p - 3\overrightarrow q = 6\overrightarrow p - \overrightarrow q \\ &\overrightarrow {{d_2}} = \overrightarrow { - a} + \overrightarrow b = - 5\overrightarrow p - 2\overrightarrow q + \overrightarrow p - 3\overrightarrow q = - 4\overrightarrow p - 5\overrightarrow q \\ &{\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|^2} = \overrightarrow {{d_1}} \cdot \overrightarrow {{d_1}} = \left( {6\overrightarrow p - \overrightarrow q } \right)\left( {6\overrightarrow p - \overrightarrow q } \right) = 36\overrightarrow p \cdot \overrightarrow p - 6\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q - 6\overrightarrow q \cdot \overrightarrow p + \overrightarrow q \cdot \overrightarrow q = \\ &= 36{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} - 12\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q + {\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = 36{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} - 12\left| {\overrightarrow p } \right|\left| {\overrightarrow q } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) + {\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = 36 \cdot 8 - 12 \cdot 6 + 9 = \\ &= 288 - 72 + 9 \\ &{\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|^2} = 225 \\ &\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right| = 15 \\ & \\ &{\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right|^2} = \overrightarrow {{d_2}} \cdot \overrightarrow {{d_2}} = \left( { - 4\overrightarrow p - 5\overrightarrow q } \right)\left( { - 4\overrightarrow p - 5\overrightarrow q } \right) = 16\overrightarrow p \cdot \overrightarrow p + 20\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q + 20\overrightarrow q \cdot \overrightarrow p + \overrightarrow {25q} \cdot \overrightarrow q = \\ &= 16{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} + 40\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q + 25{\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = 16 \cdot 8 + 40 \cdot 6 + 25 \cdot 9 = 36 \cdot 8 - 12 \cdot 6 + 9 = 593 \\ &{\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right|^2} = 593 \\ &\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right| = \sqrt {593}\end{aligned}

Дијагонале паралелограма конструисаног над векторима a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b} су d1→=a→+b→\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} и d2→=b→−a→\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}. Њихове дужине налазите из скаларног квадрата: ∣d→∣2=d→⋅d→|\overrightarrow{d}|^2 = \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d}. Кад су a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b} изражени преко p→\overrightarrow{p} и q→\overrightarrow{q}, прво их саберите и одузмите, на пример d1→=6p→−q→\overrightarrow{d_1} = 6\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q}, па квадрирајте као бином: (6p→−q→)2=36∣p→∣2−12p→⋅q→+∣q→∣2(6\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q})^2 = 36|\overrightarrow{p}|^2 - 12\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} + |\overrightarrow{q}|^2. Скаларни производ p→⋅q→\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} рачунајте из интензитета и угла. Ако је угао између a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b} оштар, a→⋅b→>0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0 и дужа је дијагонала a→+b→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}; ако је туп, дужа је b→−a→\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}. Дужина често остаје под кореном.

Корисна провера: ∣d1→∣2+∣d2→∣2=2(∣a→∣2+∣b→∣2)|\overrightarrow{d_1}|^2 + |\overrightarrow{d_2}|^2 = 2(|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2). Честа грешка је да се мешовити члан узме једном уместо два пута.

60°d₁d₂
30°
Дужа дијагонала d₁
2,65 m
Краћа дијагонала d₂
1,73 m
Угао шипке и стуба
60°
Доња шипка је дуга 2 m, а стуб 1 m; један подеок је 0,5 m. Кад је нагиб 30∘30^\circ, шипка и стуб заклапају 60∘60^\circ, као у примеру. Што је степениште стрмије, угао је мањи, дужа дијагонала расте, а краћа се смањује.

Бравари и столари из дужина страница и угла рачунају дужину дијагоналне шипке у раму облика паралелограма, на пример у огради степеништа или у решетки крова.

Ограда на степеништу

Бравар у Ужицу прави поље ограде за степениште. Поље је паралелограм: доња шипка иде уз степенице и дуга је 2 m, а вертикални стубови су високи 1 m. Шипка и стуб заклапају угао од 60∘60^\circ. Колико дуге треба да буду дијагоналне шипке, ако се поље укрућује једном или другом дијагоналом?

Решење

  1. Нека је a→\overrightarrow{a} доња шипка, а b→\overrightarrow{b} стуб: ∣a→∣=2|\overrightarrow{a}| = 2, ∣b→∣=1|\overrightarrow{b}| = 1, a→⋅b→=2⋅1⋅cos⁡60∘=1\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 1.
  2. Дужа дијагонала: ∣a→+b→∣2=4+2⋅1+1=7|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 4 + 2 \cdot 1 + 1 = 7, па је ∣a→+b→∣=7≈2,65|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{7} \approx 2{,}65.
  3. Краћа дијагонала: ∣b→−a→∣2=4−2⋅1+1=3|\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}|^2 = 4 - 2 \cdot 1 + 1 = 3, па је ∣b→−a→∣=3≈1,73|\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}| = \sqrt{3} \approx 1{,}73.
  4. Провера: 7+3=10=2(4+1)7 + 3 = 10 = 2(4 + 1).

Одговор: Дужа дијагонала је око 2,65 m, а краћа око 1,73 m.

Задатак за вежбу

Одредите дужине дијагонала паралелограма конструисаног над векторима a→=2p→+q→\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} и b→=p→−2q→\overrightarrow{b} = \overrightarrow{p} - 2\overrightarrow{q}, ако је ∣p→∣=2|\overrightarrow{p}| = 2, ∣q→∣=1|\overrightarrow{q}| = 1 и ∡(p→,q→)=60∘\measuredangle(\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}) = 60^\circ.

Прикажи решење

p→⋅q→=1\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 1. a→+b→=3p→−q→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q}, па је ∣d1→∣2=36−6+1=31|\overrightarrow{d_1}|^2 = 36 - 6 + 1 = 31; b→−a→=−p→−3q→\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{p} - 3\overrightarrow{q}, па је ∣d2→∣2=4+6+9=19|\overrightarrow{d_2}|^2 = 4 + 6 + 9 = 19. Дијагонале су 31\sqrt{31} и 19\sqrt{19}.