Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Скаларни производ вектора – примери 2

Угао између вектора, интензитет вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр. 4) Вектори a→\overrightarrow a и b→\overrightarrow b образују угао ∠(a→,b→)=π6\angle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{\pi }{6}. Ако је ∣a→∣=3,∣b→∣=1\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 1, израчунати угао између вектора p→=a→+b→\overrightarrow p = \overrightarrow a + \overrightarrow b и q→=a→−b→\overrightarrow q = \overrightarrow a - \overrightarrow b

Пр.4)

∡(p→,q→)=?cos⁡∡(p→,q→)=p→⋅q→∣p→∣⋅∣q→∣p→⋅q→=(a→+b→)(a→−b→)=a→⋅a→+b→⋅a→−a→⋅b→−b→⋅b→==∣a→∣2−∣b→∣2=3−1=2∣p→∣=?∣p→∣2=p→⋅p→=(a→+b→)(a→+b→)=a→⋅a→+b→⋅a→+a→⋅b→−b→⋅b→==∣a→∣2+2a→⋅b→+∣b→∣2=∣a→∣2+2∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡∡(a→,b→)+∣b→∣2==3+2⋅32+1=7⇒∣p→∣=7∣q→∣2=q→⋅q→=(a→−b→)(a→−b→)=a→⋅a→−b→⋅a→−a→⋅b→−b→⋅b→==∣a→∣2−2a→⋅b→+∣b→∣2=3−2⋅32+1=1⇒∣q→∣=1cos⁡∡(p→,q→)=27=277∡(p→,q→)=arccos⁡277\begin{aligned}&\measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = ? \\ &\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q }}{{\left| {\overrightarrow p } \right| \cdot \left| {\overrightarrow q } \right|}} \\ &\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = \\ &= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 3 - 1 = 2 \\ &\left| {\overrightarrow p } \right| = ? \\ &{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} = \overrightarrow p \cdot \overrightarrow p = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = \\ &= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = \\ &= 3 + 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 7 \Rightarrow \left| {\overrightarrow p } \right| = \sqrt 7 \\ & \\ &{\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = \overrightarrow q \cdot \overrightarrow q = \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = \\ &= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 = 1 \Rightarrow \left| {\overrightarrow q } \right| = 1 \\ & \\ &\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{2}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \\ &\measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \arccos \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\end{aligned}

Кад вектори нису задати координатама, него интензитетима и углом, рачуна се особинама скаларног производа. Скаларни квадрат вектора једнак је квадрату интензитета: a→⋅a→=∣a→∣2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2. Скаларни производ је комутативан и дистрибутиван, па се изрази множе као полиноми: (a→+b→)⋅(a→−b→)=∣a→∣2−∣b→∣2(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 - |\overrightarrow{b}|^2. Интензитет збира налазите из квадрата: ∣a→+b→∣2=∣a→∣2+2a→⋅b→+∣b→∣2|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2, где је a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣cos⁡∡(a→,b→)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cos\measuredangle(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}), па на крају кореновање. Угао између p→\overrightarrow{p} и q→\overrightarrow{q} добијате из cos⁡∡(p→,q→)=p→⋅q→∣p→∣⋅∣q→∣\cos\measuredangle(\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}) = \frac{\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}| \cdot |\overrightarrow{q}|}. Ако угао није табличан, резултат остаје у облику arccos⁡\arccos количника. Исто се рачуна за сваку комбинацију, на пример 2a→−3b→2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}.

Најчешћа грешка је ∣a→+b→∣=∣a→∣+∣b→∣|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|, што важи само за векторе истог смера.

φF₁F₂F
60°
40 kN
Резултујућа сила |F|
60,8 kN
Угао између F и F₁
34,7°
Почетне вредности су из примера, а један подеок је 10 kN. Резултанта је дијагонала паралелограма. Кад је угао мали, она је близу збира 30+40=7030 + 40 = 70 kN, а на 180∘180^\circ пада на разлику, 10 kN.

Бродари, дизаличари и инжењери рачунају резултујућу силу више ужади или сајли из њихових јачина и углова: квадрат интензитета збира добија се скаларним производом, без цртања.

Два тегљача на Дунаву

Два тегљача вуку баржу низ Дунав код Смедерева. Први вуче силом од 30 kN, други силом од 40 kN, а ужад заклапају угао од 60∘60^\circ. Колика је резултујућа сила и који угао заклапа са ужетом првог тегљача?

Решење

  1. Резултанта је F→=F1→+F2→\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}, а F1→⋅F2→=30⋅40⋅cos⁡60∘=600\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = 30 \cdot 40 \cdot \cos 60^\circ = 600.
  2. ∣F→∣2=∣F1→∣2+2F1→⋅F2→+∣F2→∣2=900+1200+1600=3700|\overrightarrow{F}|^2 = |\overrightarrow{F_1}|^2 + 2\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} + |\overrightarrow{F_2}|^2 = 900 + 1200 + 1600 = 3700, па је ∣F→∣=3700≈60,8|\overrightarrow{F}| = \sqrt{3700} \approx 60{,}8.
  3. F→⋅F1→=∣F1→∣2+F2→⋅F1→=900+600=1500\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{F_1} = |\overrightarrow{F_1}|^2 + \overrightarrow{F_2} \cdot \overrightarrow{F_1} = 900 + 600 = 1500.
  4. cos⁡∡(F→,F1→)=15003700⋅30≈0,822\cos\measuredangle(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{F_1}) = \frac{1500}{\sqrt{3700} \cdot 30} \approx 0{,}822, па је угао око 34,7∘34{,}7^\circ.

Одговор: Резултујућа сила је око 60,8 kN и са ужетом првог тегљача заклапа угао од око 34,7∘34{,}7^\circ.

Задатак за вежбу

Вектори a→\overrightarrow{a} и b→\overrightarrow{b} имају интензитете ∣a→∣=2|\overrightarrow{a}| = 2 и ∣b→∣=3|\overrightarrow{b}| = 3 и заклапају угао од 60∘60^\circ. Израчунајте ∣a→+b→∣|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|, ∣a→−b→∣|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| и угао између a→+b→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} и a→−b→\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.

Прикажи решење

a→⋅b→=3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3, па је ∣a→+b→∣=4+6+9=19|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{4 + 6 + 9} = \sqrt{19} и ∣a→−b→∣=4−6+9=7|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{4 - 6 + 9} = \sqrt{7}. Пошто је (a→+b→)⋅(a→−b→)=4−9=−5(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 4 - 9 = -5, косинус угла је −5133≈−0,434\frac{-5}{\sqrt{133}} \approx -0{,}434, а угао око 115,7∘115{,}7^\circ.