Једнакокраки и првавоугли трапез 2
Једнакокраки и правоугли трапез - примена. Решени задаци.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.1) Један унутрашњи угао трапеза је ${67^ \circ }$. Израчунати преостале
унутрашње и спољашње углове, ако је трапез:
а) једнакокраки
б) правоугли.
Пр.2) Продужетци кракова трапеза се секу под уголом ${43^ \circ }$. Израчунати
све унутрашње углове тог трпеза ако је он:
а) једнакокраки
б) правоугли.
Пр.3) Правоугли трапез је једном дијагоналом подељен на два троугла
- правоугли и једнакостранички чија је страница 10cm.
Израчунати средњеу линија тог трапеза.
Пр.4) Израчунати обим јендакокракок трапеза, ако је:
а) један унутрашњи угао ${60^ \circ }$, а основеице 10cm и 4cm
б) један унутрашњи угао ${30^ \circ }$, средња линија 10cm и висина
трапеза 4cm.
Пр.5) Израчунати висину правоуглог трапза ако су основице 17cm и
11cm, а један унутрашњи угао ${135^ \circ }$.
Пр.1) Један унутрашњи угао трапеза је ${67^ \circ }$. Израчунати преостале
унутрашње и спољашње углове, ако је трапез:
а) једнакокраки
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha = \beta = {67^ \circ } \hfill \\
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
{67^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {67^ \circ } \hfill \\
\delta = {113^ \circ } \hfill \\
\gamma = \delta = {113^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\alpha _1} = \delta = {113^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = \alpha = {67^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = \gamma = {113^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = \beta = {67^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
б) правоугли.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha = {67^ \circ } \hfill \\
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
{67^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {67^ \circ } \hfill \\
\delta = {113^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\alpha _1} = \delta = {113^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = \alpha = {67^ \circ } \hfill \\
\beta = {90^ \circ } \hfill \\
\gamma = {90^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {90^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {90^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
Пр.2) Продужетци кракова трапеза се секу под уголом ${43^ \circ }$. Израчунати
све унутрашње углове тог трпеза ако је он:
а) једнакокраки
$\vartriangle EDC$ - једнакокраки
\[\alpha + \beta + {43^ \circ } = {180^ \circ }\]
\[\alpha = \beta \]
\[2\alpha = {180^ \circ }\]
\[2\alpha = {180^ \circ } - {43^ \circ }\]
\[2\alpha = {137^ \circ }\]
\[\alpha = {68^ \circ }30'\]
\[\beta = \alpha = {68^ \circ }30'\]
\[\beta = \alpha = {68^ \circ }30'\]
\[\alpha + \delta = {180^ \circ }\]
\[{68^ \circ }30' + \delta = {180^ \circ }\]
\[\delta = {180^ \circ } - {68^ \circ }30'\]
\[\delta = {111^ \circ }30'\]
\[\gamma = \delta = {111^ \circ }30'\]
б) правоугли.
$\vartriangle EDC$ - правоугли.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + {90^ \circ } + {43^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {133^ \circ } \hfill \\
\alpha = {47^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
{47^ \circ } + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {47^ \circ } \hfill \\
\delta = {133^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
Пр.3) Правоугли трапез је једном дијагоналом подељен на два троугла
- правоугли и једнакостранични чија је страница 10cm.
Израчунати средњеу линија тог трапеза.
$\vartriangle ABC$ - једнакостранични чија је страница 10cm.
Направимо висину $CЕ$. $АЕ=EB=5cm$.
$ADCЕ$ - правоугаоник. $АЕ=DC=5cm$.
\[\begin{gathered}
m = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\
m = \frac{{10 + 5}}{2} \hfill \\
m = 7,5cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.4) Израчунати обим јендакокракок трапеза, ако је:
а) један унутрашњи угао ${60^ \circ }$, а основеице 10cm и 4cm
Нека је $DE\parallel CB$. $\vartriangle ADE$ - једнакостранични чија је страница ${a - b}=c$.
\[\begin{gathered}
c = a - b \hfill \\
c = 10 - 4 \hfill \\
c = 6cm \hfill \\
O = a + b + 2c \hfill \\
O = 10 + 4 + 2 \cdot 6 \hfill \\
O = 26cm \hfill \\
\end{gathered} \]
б) један унутрашњи угао ${30^ \circ }$, средња линија 10cm и висина
трапеза 4cm.
Погледамо једнакостранични троугао $\vartriangle ADE$ $AD=DE=2h=8cm$
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
m = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\
10 = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\
a + b = 2 \cdot 10 \hfill \\
a + b = 20cm \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
O = a + b + 2c \hfill \\
O = 20 + 2 \cdot 8 \hfill \\
O = 20 + 16cm \hfill \\
O = 36cm \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
Пр.5) Израчунати висину правоуглог трапза ако су основице 17cm и
11cm, а један унутрашњи угао ${135^ \circ }$.
\[\begin{gathered}
\alpha + {135^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {135^ \circ } \hfill \\
\alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]
$\vartriangle ABE$ јендакокраки.
\[\begin{gathered}
AE = BE \hfill \\
h = a - b \hfill \\
h = 17 - 11 \hfill \\
h = 6cm \hfill \\
\end{gathered} \]