Примена Питагорине теореме на једнакостранични троугао

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Ако је страница једнакостраничног троугла 6cm, израчунати:

          а) обим

          б) висину

          в) површину

          г) полупречнике уписаног и описаног круга

Пр.2)   Израчунати обим једнакостраничног троугла чија је :

          а) висина $2\sqrt 3 cm$

          б) висина $6cm$

          в) површина $9\sqrt 3 c{m^2}$

Пр.3)   Ако је краћа катета правоуглог троугла 4cm, a jeдан унутрашњи

           угао ${30^ \circ }$, израчуати обим и површину тог правоуглог троугла.

Пр.4)   Ако је хипотенуза правоуглог троугла 6cm, а један унутршњи

           угао ${60^ \circ }$, израчунати обим и површину правоуглог троугла.

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
\underline {a = 6} cm \hfill \\
O = ?h = ?P = ?{r_u} = ?{r_o} = ? \hfill \\
\hfill \\
O = 3a = 3 \cdot 6 = 18cm \hfill \\
h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 cm \hfill \\
P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{36\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
{r_u} = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}3\sqrt 3 = \sqrt 3 cm \hfill \\
{r_o} = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}3\sqrt 3 = 2\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   Израчунати обим једнакостраничног троугла чија је :

          а) 

\[\begin{gathered}
\underline {h = 2\sqrt 3 } cm \hfill \\
O = ? \hfill \\
\hfill \\
h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
2\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
a = 4cm \hfill \\
O = 3a = 3 \cdot 4 = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]

          б) 

\[\begin{gathered}
\hfill \\
\underline {h = 6} cm \hfill \\
O = ? \hfill \\
\hfill \\
h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
6 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
a = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }}\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{12\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
a = 4\sqrt 3 cm \hfill \\
O = 3a = 3 \cdot 4\sqrt 3 = 12\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

          в) 

\[\begin{gathered}
\underline {P = 9\sqrt 3 } cm \hfill \\
O = ? \hfill \\
\hfill \\
P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
9\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
{a^2} = \frac{{36\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
{a^2} = 36 \hfill \\
a = 6c{m^2} \hfill \\
O = 3a = 3 \cdot 6 = 18cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)  

$AC$ висина једнакостраничног троугла $\vartriangle ABD$

\[\begin{gathered}
h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
AC = \frac{{BD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 cm = b \hfill \\
BC = 4cm = a \hfill \\
AB = 8cm = c \hfill \\
O = a + b + c = 4 + 4\sqrt 3 + 8 = 12 + 4\sqrt 3 cm \hfill \\
P = \frac{{a \cdot b}}{2} = \frac{{4 \cdot 4\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
AC = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 cm \hfill \\
O = a + b + c = 3 + 3\sqrt 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 3 cm \hfill \\
P = \frac{{a \cdot b}}{2} = \frac{{3 \cdot 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]