Видео лекција у којој је објашњен сложенији задатак из ове области који се решава свођењем на контрадикцију.
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.3 Испитати да ли је следећа формула таутологија:
$ \left( {\left( {p \Leftrightarrow q} \right) \Rightarrow \neg r} \right) \vee \left( {\left( {s \wedge \neg t} \right) \Rightarrow \left( {r \vee p} \right)} \right)$
\[F:((p \Leftrightarrow q) \Rightarrow \neg r) \vee ((s \wedge \neg t) \Rightarrow (r \vee p))\]
Да jе исказна формула $ \left( {\left( {p \Leftrightarrow q} \right) \Rightarrow \neg r} \right) \vee \left( {\left( {s \wedge \neg t} \right) \Rightarrow \left( {r \vee p} \right)} \right)$ jедна таутологиjа можемо установити овако: ако посматрана формула не би била таутологиjа, требало би бити, за неке вредности елементарних исказа p, q, r, s и t коjи се у овоj формули поjављуjу,
\[\tau \left[ F \right] = \bot \]
То би се могло десити jедино у случаjу да jе
\[\tau \left[ {(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow \neg r} \right] = \bot \]
и \[\tau \left[ {(s \wedge \neg t) \Rightarrow (r \vee p)} \right] = \bot \] (диcjункциjа ова два исказа ниjе тачна уколико нису тачни ови искази).
Овде даље у првом делу видемо импликациjу два исказа коjи нису тачни.
За импликациjу знам да она ниjе тачна кад jе први исказ тачан а други ниjе тачан:
\[\tau [p \Leftrightarrow q] = \top \]
\[\tau \left[ {\neg r} \right] = \bot \]
Из другог исказа можемо закључити да
\[\boxed{\tau [r] = \top }\]
У другом делу задатка видемо импликациjу два исказа коjи нису тачни.
\[\tau \left[ {(s \wedge \neg t) \Rightarrow (r \vee p)} \right] = \bot \]
Импликациjа ниjе тачна кад jе први исказ тачан а други ниjе тачан:
\[\tau \left[ {s \wedge \neg t} \right] = \top\]
\[\tau \left[ {r \vee p} \right] = \bot \]
На исти начин добићемо да:
\[\boxed{\tau [s] = \top }\]
\[\tau [\neg t] = \top \]
\[\boxed{\tau [t] = \bot }\]
Имамо
\[\tau \left[ {r \vee p} \right] = \bot \] онда
\[\boxed{\tau [r] = \bot }\] и
\[\boxed{\tau [p] = \bot }\]
Враћамо се на први део овог задатка.
\[\tau \left[ {(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow \neg r} \right] = \bot \]
Добили смо да
\[\tau [p] = \bot \] онда је први исказ тачан
\[\tau [p \Leftrightarrow q] = \top \] када
\[\boxed{\tau [q] = \bot }\]
Када смо добили истинитосне вредности свих исказних слова можемо да приметимо да на jедном месту \[\tau \left[ {r} \right] = \bot \] а на другом \[\tau \left[ {r} \right] = \top \]
Ту смо дошли до контрадикциjе. Можемо да закључимо да посматрана формула jе таутологиjа.