Пропорционалност – теорија и примери 1

Видео лекција школе Рајак посвећена пропорционалности.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1 Из једног бурета напуњено је 160 боца уља од $\frac{3}{4}$ литра. Колико ће се боца напунити из истог бурета, ако оне садрже 0,8 литара?

Пр.1 Означимо са $x$ број боца које садрже 0,8 литара.

115

Имамо обрнуно пропорционалне величине. Составимо пропорцију.

$\begin{aligned}&x:160 = \frac{3}{4}:0,8 \\ &0,8 \cdot x = \frac{3}{4} \cdot 160 \\ &0,8 \cdot x = 120 \\ &x = 150 \text боца\end{aligned}$

Две величине су директно пропорционалне ако се, кад се једна повећа неколико пута, и друга повећа исто толико пута: количник им је сталан, $\frac{y}{x} = k$ . Обрнуто су пропорционалне ако се тада друга исто толико пута смањи: сталан је производ, $x \cdot y = k$ .

Задатак решавате пропорцијом. Испишите одговарајуће вредности једну испод друге, стрелицама означите смер раста и одлучите о врсти пропорционалности. Код директне пропорционалности размере пишете истим редом, а код обрнуте једну размеру окрећете. Из пропорције $a : b = c : d$ следи $ad = bc$ . Пре рачуна се упитајте да ли резултат треба да буде већи или мањи: што су боце веће, мање их се напуни из истог бурета.

Број извиђача15

Дана хране: 8
Пуних дана: 8
Оброка за последњи, непун дан: 0

Свака тачка је један дневни оброк, а свака врста један дан. Оброка је укупно 120, па кад у врсти има више извиђача, врста је мање: број особа и број дана обрнуто су пропорционални, а производ им је увек 120.

Обрнута пропорционалност служи за планирање залиха и рокова: колико ће дана трајати храна или гориво кад се промени број људи или машина, или колико амбалаже треба кад се промени величина паковања.

Храна у извиђачком кампу

Извиђачи су за камп на Тари спаковали храну довољну за 12 особа за 10 дана. Пре поласка придружила су им се још 3 извиђача, а хране није било више. Колико дана ће трајати храна ако сви једу исте оброке?

Решење

Што је више људи, храна траје краће: број особа и број дана су обрнуто пропорционални.
Производ је сталан: $12 \cdot 10 = 120$ дневних оброка.
Сада је $12 + 3 = 15$ особа, па из пропорције $x : 10 = 12 : 15$ следи $15x = 120$ , тј. $x = 8$ .

Одговор: Храна ће трајати 8 дана.

Задатак за вежбу

Ако сваког месеца штедите по 1500 динара, за жељени телефон уштедећете за 12 месеци. За колико месеци ћете уштедети исти износ ако штедите по 2000 динара месечно?

Прикажи решење

Месечни износ и број месеци су обрнуто пропорционални: $x : 12 = 1500 : 2000$ , па је $2000x = 18\,000$ и $x = 9$ месеци.