Функције – теорија и пример 1

Објашњење појмова и једноставан пример композиције пресликавања.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Дата су пресликавања:

$f:\left( {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&2&3&4 \\ b&c&a&d \end{array}} \right)g:\left( {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&b&c&d \\ s&p&t&q \end{array}} \right)$

Одреди композицију ових пресликавања.

$g \circ f = ?$

За оваj задатак користићемо дефиницију композицијe:

Диф. Ако су $f:A \to B$ и $g:B \to C$ пресликавања, $f \circ g: А\to С$ производ (композиција) функција f и g дефинисан условом:

$\left( {\forall х \in А} \right)\left( {\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)$

Применимо ово на елементе првог скупа:

$\begin{aligned}&\left( {g \circ f} \right)\left( 1 \right) = g\left( {f\left( 1 \right)} \right) = g\left( b \right) = p \\ &\left( {g \circ f} \right)\left( 2 \right) = g\left( {f\left( 2 \right)} \right) = g\left( c \right) = t \\ &\left( {g \circ f} \right)\left( 3 \right) = g\left( {f\left( 3 \right)} \right) = g\left( a \right) = s \\ &\left( {g \circ f} \right)\left( 4 \right) = g\left( {f\left( 4 \right)} \right) = g\left( d \right) = q\end{aligned}$

Дакле сада имамо

$g \circ f = \left( {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&2&3&4 \\ p&t&s&q \end{array}} \right)$

Пресликавање (функција) $f: A \to B$ сваком елементу скупа $A$ придружује тачно један елемент скупа $B$ . Коначно пресликавање згодно је записати табелом у две врсте: горе су оригинали, а доле њихове слике. Функција је „1-1“ ако различити оригинали имају различите слике, „на“ ако је сваки елемент скупа $B$ нечија слика, а бијекција ако је и једно и друго.

Ако је $f: A \to B$ и $g: B \to C$ , композиција $g \circ f: A \to C$ дефинисана је са $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Прво делује $f$ , па затим $g$ , иако се $g$ пише прво. Зато за сваки оригинал идите редом: $x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$ . У општем случају $g \circ f \neq f \circ g$ , а $f \circ g$ понекад није ни дефинисано.

Из сваке екипе полази тачно једна стрелица

f

, а из сваке групе тачно једна стрелица

g

. Укључите

g \circ f

: две узастопне стрелице постају једна, а у Нови Сад стижу две, па

g \circ f

није „1-1“.

У табелама, на пример у програму Excel, подаци се често повезују у два корака: из шифре ученика тражи се одељење, а из одељења разредни старешина. Тај ланац претраживања је композиција два пресликавања.

Жреб за турнир

На школском кошаркашком турниру жреб $f$ распоређује екипе школа из Ваљева, Лесковца, Зрењанина и Ужица у групе: Ваљево и Лесковац у групу А, Зрењанин у групу Б, а Ужице у групу В. Организатор затим пресликавањем $g$ свакој групи одређује град: групи А Нови Сад, групи Б Ниш, а групи В Крагујевац. Одредите $g \circ f$ и објасните шта оно показује. Да ли постоји $f \circ g$ ?

Решење

$f$ пресликава скуп екипа у скуп група, а $g$ скуп група у скуп градова, па $g \circ f$ пресликава екипе у градове.
По дефиницији је $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : Ваљево → А → Нови Сад и Лесковац → А → Нови Сад.
Даље, Зрењанин → Б → Ниш, а Ужице → В → Крагујевац. Ваљево и Лесковац имају исту слику, па $g \circ f$ није „1-1“.
Композиција $f \circ g$ не постоји: $g$ даје градове, а $f$ је дефинисано само за екипе.

Одговор: $g \circ f$ сваку екипу шаље у град у ком игра: Ваљево и Лесковац у Нови Сад, Зрењанин у Ниш, а Ужице у Крагујевац.

Задатак за вежбу

Дата су пресликавања скупа $\{1, 2, 3, 4\}$ у себе: $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ и $g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ . Одредите $g \circ f$ и $f \circ g$ .

Прикажи решење

$(g \circ f)(1) = g(3) = 4$ , $(g \circ f)(2) = g(1) = 2$ , $(g \circ f)(3) = g(4) = 3$ и $(g \circ f)(4) = g(2) = 1$ , па је $g \circ f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ . На исти начин $f \circ g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ , дакле $g \circ f \neq f \circ g$ .