Највећи заједнички делилац

Дефиниција, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Одреди заједничке делиоце следећих природних бројева:

а) 4 и 6 б) 18 и 24 в) 15 и 45 д) 50, 60 и 70

Пр.2) Одреди заједничке делиоце следећих природних бројева:

а) 5 и 6 б) 15 и 22 в) 28 и 45

Пр.3) Одереди највећи заједнички делилац следећих природних

бројева:

а) 16 и 24 б) 36 и 54 в) 56 и 84 г) 45, 60 и 90

Пр.4) У једној торби су 54 јабуке, а у другој 63 крушке. Колико ће

деце моћи да поделе те јабуке и крушке тако да свако дете

добије један број јабука и један број крушака?

Пр.1) Одреди заједничке делиоце следећих природних бројева:

533 png

Пр.2) Одреди заједничке делиоце следећих природних бројева:

534 png

Пр.3) Одереди највећи заједнички делилац следећих природних

бројева:

535 png

Пр.4) У једној торби су 54 јабуке, а у другој 63 крушке. Колико ће

деце моћи да поделе те јабуке и крушке тако да свако дете

добије један број јабука и један број крушака?

536 png

Највећи заједнички делилац (НЗД) два или више природних бројева је највећи број којим је сваки од њих дељив. Заједничке делиоце налазите тако што испишете делиоце сваког броја и упоредите их: делиоци броја 18 су 1, 2, 3, 6, 9 и 18, а броја 24 су 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Заједнички су 1, 2, 3 и 6, па је НЗД(18, 24) = 6.

За веће бројеве је бржи пут растављање на просте чиниоце: НЗД је производ чинилаца које бројеви имају заједно. Ако је НЗД једнак 1, бројеви су узајамно прости. НЗД вам треба кад нешто делите на што веће једнаке делове, тако да ништа не остане.

Страница плочице4 dm

Цела плочица стаје: 24
НЗД(27, 18): 9 dm

Под од 27 dm и 18 dm плочице покривају без сечења само кад њихова страница дели оба броја. Највећа таква страница је 9 dm, то је НЗД(27, 18).

НЗД се користи кад нешто треба поделити на што веће једнаке делове без остатка: плочице за под, пакете слаткиша, екипе на турниру или траке исте дужине.

Плочице у купатилу

Под купатила је правоугаоник димензија 270 cm и 180 cm. Мајстор жели квадратне плочице, све исте величине и што веће, тако да покрију под без сечења. Колика је страница плочице и колико плочица треба?

Решење

Страница плочице мора да дели и 270 и 180, иначе би на крају реда остала празнина. Тражимо НЗД(270, 180).
Растављамо на просте чиниоце: $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ и $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ .
Заједнички чиниоци су 2, 3, 3 и 5, па је НЗД(270, 180) $= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 90$ .
Дуж дуже стране стају $270 : 90 = 3$ плочице, а дуж краће $180 : 90 = 2$ , што је укупно $3 \cdot 2 = 6$ плочица.

Одговор: Највећа плочица има страницу 90 cm, а потребно је 6 плочица.

Задатак за вежбу

Учитељица има 48 оловака и 36 гумица. Жели да их подели у што више једнаких пакета, тако да ништа не остане. Колико пакета може да направи и шта ће бити у сваком?

Прикажи решење

НЗД(48, 36) = 12, па може да направи 12 пакета. У сваком су $48 : 12 = 4$ оловке и $36 : 12 = 3$ гумице.