Површина четворостране пирамиде

Дефиниције, формуле, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр1) Израчунати површину четворостране пирамиде чија је основа

правоугаоник са ивицама 10cm и 32cm, а висина је 12cm.

Пр.2) Бочна страна правилне четворостране пирамиде је нагнута према

равни основе под углом од ${60^ \circ }$ . Ако је висина пирамиде

12cm, израчунати површину те пирамиде.

Пр.3) Бочна ивица правилне четворостране пирамиде је нагнута према

равни основе под углом од ${45^ \circ }$ . Ако је висина пирамиде

6cm, израчунати површину те пирамиде.

Пр.4) Врх громобрана који има облик правилне четворостране

пирамиде са основном ивицом 2,6cm и бочном ивицом

8,5cm, треба позлатити. Колику површину треба позлатити?

Пр1)

698 jpg

$\begin{aligned}&a = 10cm \\ &b = 32cm \\ &\underline {H = 12cm} \\ &P = ? \\ & \\ &P = B + M \\ &B = ab = 10 \cdot 32 = 320c{m^2} \\ & \\ &M = 2\frac{{a \cdot {h_a}}}{2} + 2\frac{{b \cdot {h_b}}}{2} \\ &M = a \cdot {h_a} + b \cdot {h_b} \\ & \\ &{h_b}^2 = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{h_b}^2 = {12^2} + {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} \\ &{h_b}^2 = {12^2} + {5^2} \\ &{h_b}^2 = 144 + 25 \\ &{h_b}^2 = 169 \\ &{h_b} = 13cm \\ & \\ &{h_a}^2 = {H^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \\ &{h_a}^2 = {12^2} + {\left( {\frac{{32}}{2}} \right)^2} \\ &{h_a}^2 = {12^2} + {16^2} \\ &{h_a}^2 = 144 + 256 \\ &{h_a}^2 = 400 \\ &{h_a} = 20cm \\ & \\ &M = a \cdot {h_a} + b \cdot {h_b} = 10 \cdot 20 + 32 \cdot 13 = 320 + 499 = 819c{m^2}\end{aligned}$

Пр.2)

700 jpg

$\begin{aligned}&\alpha = {60^ \circ } \\ &\underline {H = 12cm} \\ &P = ? \\ & \\ &h = a \\ &H = \frac{{h\sqrt 3 }}{2} \\ &12 = \frac{{h\sqrt 3 }}{2} \\ &h\sqrt 3 = 12 \cdot 2 \\ &h\sqrt 3 = 24 \\ &h = \frac{{24}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \\ &h = 8\sqrt 3 cm \\ &a = h = 8\sqrt 3 cm \\ & \\ &P = B + M \\ &B = {a^2} = {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 192c{m^2} \\ & \\ &M = 4\frac{{ah}}{2} = 4\frac{{8\sqrt 3 \cdot 8\sqrt 3 }}{2} = 384c{m^2} \\ & \\ &P = B + M = 192 + 384 = 576c{m^2}\end{aligned}$

Пр.3)

701 jpg

$\begin{aligned}&\alpha = {45^ \circ } \\ &\underline {H = 6cm} \\ &P = ? \\ & \\ &H = \frac{d}{2} \\ &6 = \frac{d}{2} \\ &d = 12cm \\ &d = a\sqrt 2 \\ &12 = a\sqrt 2 \\ &a = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 cm \\ & \\ &{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{h^2} = {6^2} + {\left( {\frac{{6\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \\ &{h^2} = 36 + {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} \\ &{h^2} = 36 + 18 = 54 \\ &h = \sqrt {54} = 3\sqrt 6 cm \\ & \\ &P = B + M \\ &B = {a^2} \\ &B = {\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} = 36 \cdot 2 = 72c{m^2} \\ & \\ &M = 4\frac{{ah}}{2} = 4\frac{{6\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 6 }}{2} = 72\sqrt 3 c{m^2} \\ &P = 72 + 72\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$

Пр.4)

693 jpg

$\begin{aligned}&a = 2,6cm \\ &\underline {s = 8,5cm} \\ &M = ? \\ & \\ &{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{8,5^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{2,6}}{2}} \right)^2} \\ &{72,25^2} = {h^2} + 1,69 \\ &{h^2} = 70,56 \\ &h = \sqrt {70,56} = 8,4cm \\ & \\ &M = 4\frac{{ah}}{2} = 4\frac{{2,6 \cdot 8,4}}{2} = 43,68c{m^2}\end{aligned}$

Површина пирамиде је збир површине основе и омотача: $P = B + M$ . Код правилне четворостране пирамиде основа је квадрат, $B = a^2$ , а омотач чине четири подударна једнакокрака троугла: $M = 4 \cdot \frac{a h}{2} = 2ah$ . Овде је $h$ апотема, висина бочне стране, а не висина пирамиде $H$ . Апотему налазите из правоуглог троугла: $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ , а кад је дата бочна ивица $s$ , из $s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .

Ако је основа правоугаоник са ивицама $a$ и $b$ , бочне стране чине два пара подударних троуглова, па рачунате две апотеме: $h_a^2 = H^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$ и $h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ . Кад је дат угао нагиба бочне стране према основи, он је у истом троуглу, између $h$ и $\frac{a}{2}$ . Најчешћа грешка је замена $H$ и $h$ .

Основна ивица a4 m

Висина H1,5 m

Апотема h: 2,5 m
Омотач M: 20 m²
Површина P: 36 m²

Висина

H

, половина ивице

\frac{a}{2}

и апотема

h

граде правоугли троугао. За

a = 4

и

H = 1{,}5

апотема је 2,5, а омотач 20, као на крову сенице.

Површину пирамиде рачунају кровопокривачи кад процењују колико црепа, лима или шиндре треба за шатораст кров, као и произвођачи кутија и сувенира тог облика.

Кров баштенске сенице

Кров баштенске сенице има облик правилне четворостране пирамиде: основна ивица је 4 m, а висина крова 1,5 m. Кров се покрива шиндром која се продаје у пакетима од по 3 m². Колико квадратних метара шиндре треба и колико пакета треба купити?

Решење

Покрива се само омотач, јер је испод крова отворено. Треба нам $M = 2ah$ , а за то прво апотема $h$ .
Висина $H = 1{,}5$ m, половина ивице $\frac{a}{2} = 2$ m и апотема $h$ чине правоугли троугао: $h^2 = 1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25$ , па је $h = 2{,}5$ m.
Омотач: $M = 2 \cdot 4 \cdot 2{,}5 = 20$ m².
Број пакета: $20 : 3 \approx 6{,}67$ . Део пакета не може да се купи, па заокружујемо навише на 7.

Одговор: За кров треба 20 m² шиндре, односно 7 пакета.

Задатак за вежбу

Правилна четворострана пирамида има основну ивицу 12 cm и висину 8 cm. Израчунајте њену површину.

Прикажи решење

$h^2 = 8^2 + 6^2 = 100$ , па је $h = 10$ cm. $B = 12^2 = 144$ cm², $M = 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240$ cm², $P = 144 + 240 = 384$ cm².