Логаритамске неједначине 4

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску неједначину.

пр.7)   ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 0$

пр.7) ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}{\log _{5 - x}}1$

Сматрамо два случаја:

1.) кад je $5 - x > 1$ онда нашу неједначину можемо преписати у овом облику  $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 1$

2.) кад je $0 < 5 - x < 1$ онда нашу неједначину можемо преписати у овом облику $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \leqslant 1$

Решимо ови два случаjа.

1.)$$\begin{aligned}&5 - x > 1 \\ &- x > 1 - 5 \\ &x < 4\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 1 \\ &\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} - 1 \geqslant 0 \\ &\frac{{{x^2} + x - x - 4}}{{x + 4}} \geqslant 0 \\ &\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 4}} \geqslant 0\end{aligned}$$

Решимо ову неједначину табличном методом.

$$x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$$

Решење овог случаjа: $x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2;4} \right)$

2.) $0 < 5 - x < 1$

Решење овој неједначине је $x \in \left( {4;5} \right)$

Решење неједначине $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \leqslant 1$ можемо погледати у таблици:

$x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left[ { - 2;2} \right]$

Решење овог случаjа можемо видети на броjевноj правоj.

Решење овог случаjа: $x \in \emptyset$

Решење неједначине ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 0$ је униjа решења првовог и другог случаjа, а то je $x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2;4} \right)$