Квадратна једначина – решења

Извођење формуле за решења квадратне једначине. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Наћи решње следеће квадратне једначине:

${x^2} - 3x - 28 = 0$

Пр.2 Решити следећу квадратну једначину:

$9{x^2} - 12x + 4 = 0$

Пр.3 Решити следећу квадратну једначину:

$25{x^2} - 20x + 7 = 0$

Пр.1

$\begin{aligned}&{x^2} - 3x - 28 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 28} \right)} }}{{2 \cdot 1}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 112} }}{2} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{3 \pm 11}}{2} \\ &{x_1} = \frac{{3 - 11}}{2} = - 4 \\ &{x_2} = \frac{{3 + 11}}{2} = 7\end{aligned}$

Пр. 2

$\begin{aligned}&9{x^2} - 12x + 4 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{12 \pm \sqrt {144 - 4 \cdot 9 \cdot 4} }}{{2 \cdot 9}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{12 \pm \sqrt {144 - 144} }}{{18}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{12 \pm 0}}{{18}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{2}{3}\end{aligned}$

Пр. 3

$\begin{aligned}&25{x^2} - 20x + 7 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{20 \pm \sqrt {400 - 4 \cdot 25 \cdot 7} }}{{2 \cdot 25}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{20 \pm \sqrt {400 - 700} }}{{50}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{20 \pm \sqrt { - 300} }}{{50}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{20 \pm \sqrt { - 1 \cdot 3 \cdot 100} }}{{50}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{20 \pm 10i\sqrt 3 }}{{50}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{10\left( {2 \pm i\sqrt 3 } \right)}}{{50}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{\left( {2 \pm i\sqrt 3 } \right)}}{5} \\ &{x_1} = \frac{{2 + i\sqrt 3 }}{5} \\ &{x_2} = \frac{{2 - i\sqrt 3 }}{5}\end{aligned}$

Квадратна једначина $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \ne 0$ , решава се формулом $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , која се изводи допуњавањем до потпуног квадрата. Израз под кореном, $D = b^2 - 4ac$ , одлучује шта добијате: за $D > 0$ два различита реална решења, за $D = 0$ једно двоструко решење $x = -\frac{b}{2a}$ , а за $D < 0$ два конјуговано комплексна решења, јер је $\sqrt D = i\sqrt{-D}$ .

Пре формуле прочитајте $a$ , $b$ и $c$ заједно са знаковима. У $x^2 - 5x - 14 = 0$ је $b = -5$ и $c = -14$ , па је $D = 25 + 56 = 81$ и $x_{1,2} = \frac{5 \pm 9}{2}$ , тј. $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$ . Најчешће грешке су погрешан знак при квадрирању негативног $b$ и дељење са 2 уместо са $2a$ .

Почетна брзина v20 m/s

Задата висина h15 m

Дискриминанта D: 4
t₁: 1 s
t₂: 3 s

Тренуци

t_1

и

t_2

су решења једначине

5t^2 - vt + h = 0

, а

D

је дискриминанта те једначине подељене са 5. Подигните висину на 20 m при брзини 20 m/s: тада је

D = 0

и лопта ту висину достиже само једном, у највишој тачки. Ако затим смањите брзину,

D < 0

и решења нису реална: лопта не стиже до те висине.

Квадратне једначине решавају физичари и инжењери кад рачунају када тело бачено увис достиже неку висину, при којој брзини је зауставни пут возила задате дужине или које димензије има површина задатог облика.

Лопта бачена увис

Лопта је бачена вертикално увис брзином 20 m/s. Њена висина после $t$ секунди је приближно $h = 20t - 5t^2$ метара. Када је лопта на висини 15 m?

Решење

Из $20t - 5t^2 = 15$ добијамо $5t^2 - 20t + 15 = 0$ , а после дељења са 5: $t^2 - 4t + 3 = 0$ .
$a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ , па је $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$ .
$t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt 4}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$ , тј. $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$ .
Оба решења имају смисла: лопта је на висини 15 m једном док се пење, а други пут док пада.

Одговор: Лопта је на висини 15 m после 1 s (на путу навише) и после 3 s (на путу наниже).

Задатак за вежбу

Решите једначине $2x^2 + 3x - 2 = 0$ и $x^2 - 4x + 13 = 0$ .

Прикажи решење

Прва: $D = 9 + 16 = 25$ , $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$ , па $x_1 = -2$ , $x_2 = \frac{1}{2}$ . Друга: $D = 16 - 52 = -36$ , $x_{1,2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$ .