Почетна Видео лекције Други разред средње школе Комплексни бројеви 5 Комплексни бројеви 5 Комплексни број. Дељење и множење комплексних бројева. Урађени примери.
Задаци Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.9 Одреди количник датих комплексних бројева.
z 1 = − 1 + 3 i {z_1} = - 1 + 3i z 1 = − 1 + 3 i z 2 = 2 i {z_2} = 2i z 2 = 2 i z 1 : z 2 = ? {z_1}:{z_2} = ? z 1 : z 2 = ?
Пр.10 Одреди количник датих комплексних бројева.
z 1 = − 3 + 2 i {z_1} = - 3 + 2i z 1 = − 3 + 2 i z 2 = 1 − i {z_2} = 1 - i z 2 = 1 − i z 1 : z 2 = ? {z_1}:{z_2} = ? z 1 : z 2 = ?
Пр.11 Упростити следећи израз:
1 − 2 3 i 2 + 3 i = \frac{{1 - 2\sqrt 3 i}}{{2 + \sqrt 3 i}} = 2 + 3 i 1 − 2 3 i =
Пр.12 Израчунај вредност следећег израза:
1 1 + i − 2 2 − 2 i = \frac{1}{{1 + i}} - \frac{2}{{2 - \sqrt 2 i}} = 1 + i 1 − 2 − 2 i 2 =
Пр.9
z 1 = − 1 + 3 i z 2 = 2 i z 1 : z 2 = z 1 z 2 = − 1 + 3 i 2 i ⋅ i i = − i + 3 i 2 2 i 2 = − i − 3 − 2 = = − i − 2 − 3 2 = − 3 2 + 1 2 i \begin{aligned}&{z_1}{\text{ }} = {\text{ }} - {\text{ }}1{\text{ }} + {\text{ }}3i \\ &{{\text{z}}_2}{\text{ }} = {\text{ }}2i \\ &{z_1}:{z_2}{\text{ }} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{ - {\text{ }}1{\text{ }} + {\text{ }}3i}}{{2i}} \cdot \frac{i}{i} = \frac{{ - i + 3{i^2}}}{{2{i^2}}} = \frac{{ - i - 3}}{{ - 2}} = \\ &= \frac{{ - i}}{{ - 2}} - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i\end{aligned} z 1 = − 1 + 3 i z 2 = 2 i z 1 : z 2 = z 2 z 1 = 2 i − 1 + 3 i ⋅ i i = 2 i 2 − i + 3 i 2 = − 2 − i − 3 = = − 2 − i − 2 3 = − 2 3 + 2 1 i
Пр. 10
z 1 = − 3 + 2 i z 2 = 1 − i z 1 : z 2 = z 1 z 2 = − 3 + 2 i 1 − i ⋅ 1 + i 1 + i = − 3 − 3 i + 2 i + 2 i 2 1 2 − i 2 = − 3 − i − 2 2 = = − 5 − i 2 = − 5 2 − 1 2 i \begin{aligned}&{z_1}{\text{ }} = {\text{ }} - {\text{ }}3{\text{ }} + {\text{ }}2i \\ &{{\text{z}}_2}{\text{ }} = {\text{ }}1{\text{ }} - {\text{ }}i \\ &{z_1}:{z_2}{\text{ }} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{ - {\text{ }}3{\text{ }} + {\text{ }}2i}}{{1{\text{ }} - {\text{ }}i}} \cdot \frac{{1{\text{ }} + {\text{ }}i}}{{1{\text{ }} + {\text{ }}i}} = \frac{{ - 3 - 3i + 2i + 2{i^2}}}{{{1^2} - {i^2}}} = \frac{{ - 3 - i - 2}}{2} = \\ &= \frac{{ - 5 - i}}{2} = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{aligned} z 1 = − 3 + 2 i z 2 = 1 − i z 1 : z 2 = z 2 z 1 = 1 − i − 3 + 2 i ⋅ 1 + i 1 + i = 1 2 − i 2 − 3 − 3 i + 2 i + 2 i 2 = 2 − 3 − i − 2 = = 2 − 5 − i = − 2 5 − 2 1 i
Пр. 11
1 − 2 3 i 2 + 3 i = 1 − 2 3 i 2 + 3 i ⋅ 2 − 3 i 2 − 3 i = 2 − 3 i − 4 3 i + 2 3 3 i 2 2 2 − ( 3 i ) 2 = = 2 − 5 3 i + 6 i 2 4 − 3 i 2 = 2 − 5 3 i − 6 4 + 3 = − 4 − 5 3 i 7 = − 4 7 − 5 3 7 i \begin{aligned}&\frac{{1 - 2\sqrt 3 i}}{{2 + \sqrt 3 i}} = \frac{{1 - 2\sqrt 3 i}}{{2 + \sqrt 3 i}} \cdot \frac{{2 - \sqrt 3 i}}{{2 - \sqrt 3 i}} = \frac{{2 - \sqrt 3 i - 4\sqrt 3 i + 2\sqrt 3 \sqrt 3 {i^2}}}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 i} \right)}^2}}} = \\ &= \frac{{2 - 5\sqrt 3 i + 6{i^2}}}{{4 - 3{i^2}}} = \frac{{2 - 5\sqrt 3 i - 6}}{{4 + 3}} = \frac{{ - 4 - 5\sqrt 3 i}}{7} = - \frac{4}{7} - \frac{{5\sqrt 3 }}{7}i\end{aligned} 2 + 3 i 1 − 2 3 i = 2 + 3 i 1 − 2 3 i ⋅ 2 − 3 i 2 − 3 i = 2 2 − ( 3 i ) 2 2 − 3 i − 4 3 i + 2 3 3 i 2 = = 4 − 3 i 2 2 − 5 3 i + 6 i 2 = 4 + 3 2 − 5 3 i − 6 = 7 − 4 − 5 3 i = − 7 4 − 7 5 3 i
Пр. 12
1 1 + i − 2 2 − 2 i = 1 1 + i ⋅ 1 − i 1 − i − 2 2 − 2 i ⋅ 2 + 2 i 2 + 2 i = = 1 − i 1 − i 2 − 4 − 2 2 i 2 2 − ( 2 i ) 2 = 1 − i 1 + 1 − 4 − 2 2 i 2 2 − 2 i 2 = = 1 − i 2 − 4 − 2 2 i 4 + 2 = 1 − i 2 − 4 − 2 2 i 6 = 3 − 3 i − ( 4 − 2 2 i ) 6 = = 3 − 3 i − 4 + 2 2 i 6 = − 1 − 3 i + 2 2 i 6 = − 1 6 + − 3 + 2 2 6 i \begin{aligned}&\frac{1}{{1 + i}} - \frac{2}{{2 - \sqrt 2 i}} = \frac{1}{{1 + i}} \cdot \frac{{1 - i}}{{1 - i}} - \frac{2}{{2 - \sqrt 2 i}} \cdot \frac{{2 + \sqrt 2 i}}{{2 + \sqrt 2 i}} = \\ &= \frac{{1 - i}}{{1 - {i^2}}} - \frac{{4 - 2\sqrt 2 i}}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 i} \right)}^2}}} = \frac{{1 - i}}{{1 + 1}} - \frac{{4 - 2\sqrt 2 i}}{{{2^2} - 2{i^2}}} = \\ &= \frac{{1 - i}}{2} - \frac{{4 - 2\sqrt 2 i}}{{4 + 2}} = \frac{{1 - i}}{2} - \frac{{4 - 2\sqrt 2 i}}{6} = \frac{{3 - 3i - \left( {4 - 2\sqrt 2 i} \right)}}{6} = \\ &= \frac{{3 - 3i - 4 + 2\sqrt 2 i}}{6} = \frac{{ - 1 - 3i + 2\sqrt 2 i}}{6} = - \frac{1}{6} + \frac{{ - 3 + 2\sqrt 2 }}{6}i\end{aligned} 1 + i 1 − 2 − 2 i 2 = 1 + i 1 ⋅ 1 − i 1 − i − 2 − 2 i 2 ⋅ 2 + 2 i 2 + 2 i = = 1 − i 2 1 − i − 2 2 − ( 2 i ) 2 4 − 2 2 i = 1 + 1 1 − i − 2 2 − 2 i 2 4 − 2 2 i = = 2 1 − i − 4 + 2 4 − 2 2 i = 2 1 − i − 6 4 − 2 2 i = 6 3 − 3 i − ( 4 − 2 2 i ) = = 6 3 − 3 i − 4 + 2 2 i = 6 − 1 − 3 i + 2 2 i = − 6 1 + 6 − 3 + 2 2 i
У к р а т к о Количник z 1 z 2 \frac{z_1}{z_2} z 2 z 1 z ˉ 2 \bar z_2 z ˉ 2 c 2 + d 2 c^2 + d^2 c 2 + d 2 a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) c 2 + d 2 \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} c + d i a + bi = c 2 + d 2 ( a + bi ) ( c − d i ) a + b i a + bi a + bi ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} z 2 z 1 = ∣ z 2 ∣ ∣ z 1 ∣ i i i 4 + 6 i 2 i = 4 i + 6 i 2 2 i 2 = − 6 + 4 i − 2 = 3 − 2 i \frac{4 + 6i}{2i} = \frac{4i + 6i^2}{2i^2} = \frac{-6 + 4i}{-2} = 3 - 2i 2 i 4 + 6 i = 2 i 2 4 i + 6 i 2 = − 2 − 6 + 4 i = 3 − 2 i ( 3 − 2 i ) ⋅ 2 i = 6 i − 4 i 2 = 4 + 6 i (3 - 2i) \cdot 2i = 6i - 4i^2 = 4 + 6i ( 3 − 2 i ) ⋅ 2 i = 6 i − 4 i 2 = 4 + 6 i a + b i a + bi a + bi
П о м е р и т е т а ч к е z ₁ и z ₂ −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 x y z ₁z ₂w
w, реални део 0
w, имагинарни део 1
|z₂| : |z₁| 1
Угао окрета 90° Количник w = z 2 z 1 w = \frac{z_2}{z_1} w = z 1 z 2 z 2 z_2 z 2 z 1 z_1 z 1 ∣ w ∣ = ∣ z 2 ∣ ∣ z 1 ∣ |w| = \frac{|z_2|}{|z_1|} ∣ w ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ z 1 = 3 + i z_1 = 3 + i z 1 = 3 + i z 2 = − 1 + 3 i z_2 = -1 + 3i z 2 = − 1 + 3 i w = i w = i w = i П р и м е р и з ж и в о т а Количник два комплексна броја казује за који угао треба окренути и колико пута увећати један број да би се добио други; тако се у рачунарској графици описује окретање слике, а у електротехници импеданса Z = U I Z = \frac{U}{I} Z = I U
Окретање слике у програму У програму за цртање слика се окреће око координатног почетка. Теме слике било је у тачки z 1 = 3 + i z_1 = 3 + i z 1 = 3 + i z 2 = − 1 + 3 i z_2 = -1 + 3i z 2 = − 1 + 3 i w = z 2 z 1 w = \frac{z_2}{z_1} w = z 1 z 2 w w w 2 + 5 i 2 + 5i 2 + 5 i
Решење w = − 1 + 3 i 3 + i w = \frac{-1 + 3i}{3 + i} w = 3 + i − 1 + 3 i 3 − i 3 - i 3 − i Бројилац: ( − 1 + 3 i ) ( 3 − i ) = − 3 + i + 9 i − 3 i 2 = − 3 + 10 i + 3 = 10 i (-1 + 3i)(3 - i) = -3 + i + 9i - 3i^2 = -3 + 10i + 3 = 10i ( − 1 + 3 i ) ( 3 − i ) = − 3 + i + 9 i − 3 i 2 = − 3 + 10 i + 3 = 10 i Именилац: ( 3 + i ) ( 3 − i ) = 9 − i 2 = 10 (3 + i)(3 - i) = 9 - i^2 = 10 ( 3 + i ) ( 3 − i ) = 9 − i 2 = 10 w = 10 i 10 = i w = \frac{10i}{10} = i w = 10 10 i = i Множење са i i i 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ i ( 2 + 5 i ) = 2 i + 5 i 2 = − 5 + 2 i i(2 + 5i) = 2i + 5i^2 = -5 + 2i i ( 2 + 5 i ) = 2 i + 5 i 2 = − 5 + 2 i Одговор: Свака тачка је помножена са w = i w = i w = i 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ − 5 + 2 i -5 + 2i − 5 + 2 i
Задатак за вежбу Израчунајте 5 + i 1 + i \frac{5 + i}{1 + i} 1 + i 5 + i
Прикажи решење ( 5 + i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 5 − 5 i + i − i 2 2 = 6 − 4 i 2 = 3 − 2 i \frac{(5 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{5 - 5i + i - i^2}{2} = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i ( 1 + i ) ( 1 − i ) ( 5 + i ) ( 1 − i ) = 2 5 − 5 i + i − i 2 = 2 6 − 4 i = 3 − 2 i ( 3 − 2 i ) ( 1 + i ) = 3 + 3 i − 2 i − 2 i 2 = 5 + i (3 - 2i)(1 + i) = 3 + 3i - 2i - 2i^2 = 5 + i ( 3 − 2 i ) ( 1 + i ) = 3 + 3 i − 2 i − 2 i 2 = 5 + i
