Диференцијалне једначине - решени задаци

\[\begin{array}{l} y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \\ \frac{{dy}}{{dx}} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \\ \frac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)dx/\int {} \\ \int {\frac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)dx} + C \end{array}\]

\[\begin{array}{l} y' = f\left( {\frac{y}{x}} \right) \\ смена:{\rm{ }}\frac{y}{x} = t \\ {\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} y = t \cdot x \\ {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} y' = t' \cdot x + t \end{array}\]

\[\begin{array}{l} y' + f\left( x \right)y = g\left( x \right) \\ смена:y = u \cdot v{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }}где{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}су{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}u = u\left( x \right),v = v\left( x \right) \\ {\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} y' = u'v + uv' \\ u'v + uv' + f\left( x \right)uv = g\left( x \right) \\ u'v + u\left( {v' + f\left( x \right)v} \right) = g\left( x \right) \\ v' + f\left( x \right)v = 0 \wedge u'v = g\left( x \right) \end{array}\]

\[\begin{array}{l} y' = f\left( {\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}} \right) \\ {\text{ако је }} \delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a_1}&{b_1}\\{a_2}&{b_2} \end{array}} \right| \ne 0 \\ {\text{уводимо смену: }} \\ x = X + \alpha {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dx = dX \\ y = Y + \beta {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dy = dY \\ {\text{где су }} \alpha {\text{ и }} \beta {\text{ решења система }} \\ {a_1}\alpha + {b_1}\beta + {c_1} = 0 \\ {a_2}\alpha + {b_2}\beta + {c_2} = 0 \\ \\ {\text{ако је }} \delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a_1}&{b_1}\\{a_2}&{b_2} \end{array}} \right| = 0 \\ {\text{уводимо смену: }} {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = t,{\rm{ }}{\text{ где је }}t = t\left( x \right) \end{array}\]

\[\begin{array}{l} y' + f\left( x \right)y = g\left( x \right){y^\alpha }{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /:{y^\alpha } \\ \frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} + f\left( x \right)\frac{y}{{{y^\alpha }}} = g\left( x \right) \\ \frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} + f\left( x \right){y^{1 - \alpha }} = g\left( x \right) \\ смена:{y^{1 - \alpha }} = z \\ {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}\left( {1 - \alpha } \right){y^{1 - \alpha - 1}}y' = z' \\ {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \left( {1 - \alpha } \right)\frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} = z' \\ {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} = \frac{{z'}}{{1 - \alpha }} \\ \\ \frac{{z'}}{{1 - \alpha }} + f\left( x \right)z = g\left( x \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} / \cdot \left( {1 - \alpha } \right) \\ z' + \left( {1 - \alpha } \right)f\left( x \right)z = \left({1 - \alpha } \right)g\left( x \right) \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{ }} {\text{ }} Pdx + Qdy = 0 \\ {\text{ако је }} {\text{ }}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \\ {\text{тада дату једначину можемо записати у облику}} \\ {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} dF\left( {x,y} \right) = 0 \\ односно{\text{ }} {\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0 \\ {\text{где је }} {\text{ }} F\left( {x,y} \right) = C \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} Pdx + Qdy = 0 {\text{ }}{\text{ }} {\text{ако је }}{\text{ }} {\text{ }}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} \ne \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \\ {\text{тада постоји функција }}{\text{ }} \mu = \mu \left( {x,y} \right) \\ {\text{ којом можемо помножити дату диференцијалну једначину }} \\ {\text{ тако да }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{\partial \left( {\mu P} \right)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial \left( {\mu Q} \right)}}{{\partial x}} \\ {\text{односно добијамо диференцијалну једначину тоталног диференцијала}} \\ {\text{при том важи}} \\ \frac{1}{Q}\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) = F\left( x \right) \Rightarrow \mu = \mu \left( x \right) \\ \frac{1}{P}\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) = F\left( y \right) \Rightarrow \mu = \mu \left( y \right) \\ \end{array}\]

\[\begin{array} \\ y'' + py' + qy = f\left( x \right) \\ \\ {\text{Најпре решавамо хомогени део диференцијалне једначине : }} \\ y'' + py' + qy = 0 \\ {k^2} + pk + q = 0 {\text{ -карактеристична једначина }} \\ {k_{1/2}} {\text{ -корени карактеристичне једначине }} \\ {\text{Ако је : }} \\ {k_1} \ne {k_2} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y_h} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}} \\ {k_1} = {k_2} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y_h} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}x{e^{{k_1}x}} \\ {k_{1/2}} = \alpha \pm \beta i {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y_h} = {e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) \\ \\ {\text{Ако је нехомогени део облика }} \\ f\left( x \right) = {e^{ax}}\left( {{P_n}\left( x \right)\cos bx + {Q_n}\left( x \right)\sin bx} \right) \\ {\text{Тада је партикуларно решење облика : }} \\ {y_p} = {x^r}{e^{ax}}\left( {{S_N}\left( x \right)\cos bx + {T_N}\left( x \right)\sin bx} \right) \\ {\text{где је r-вишеструкост $a \pm bi$ као корена карактеристичне једначине, а $N = \max \left\{ {n,m} \right\}$}} \\ \end{array}\]

\[\begin{array} \\ {A_n}{\left( {ax + b} \right)^n}{y^{\left( n \right)}} + {A_{n - 1}}{\left( {ax + b} \right)^{n - 1}}{y^{\left( {n - 1} \right)}} + ... + {A_1}\left( {ax + b} \right)y' + {A_0}y = f\left( x \right) \\ {A_n},{A_{n - 1}},...,{A_1},{A_0},a,b - const. \\ ax + b > 0 \\ \\ {\text{ смена : }} ax + b = {e^t} \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} t = \ln \left( {ax + b} \right) \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} dt = \frac{1}{{ax + b}} \cdot adx \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} \frac{{dt}}{{dx}} = {e^{ - t}} \cdot a \\ \\ y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \dot y \cdot {e^{ - t}}a \\ y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{{dy'}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\dot y \cdot {e^{ - t}}a} \right) \cdot {e^{ - t}}a = \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}= \left( {\ddot y \cdot {e^{ - t}}a + \dot y \cdot \left( { - {e^{ - t}}a} \right)} \right) \cdot {e^{ - t}}a = {a^2}{e^{ - 2t}}\left( {\ddot y - \dot y} \right) \end{array}\]