Примена одређеног интеграла 2

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање површине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.2) Израчунај површину ограничену параболом $y = {x^2} + x + 3$ и

правом $y = x + 7$ .

$P:y = {x^2} + x + 3$

нула: $y = 0$

${x^2} + x + 3 = 0$

${x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4 \cdot 3} }}{2} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt { - 11} }}{2}$

473 png

$p:y = x + 7$

нула: $y = 0$

$x + 7 = 0$

$x = - 7$

474 png

$P \cap p:\left\{ \begin{aligned}&y = {x^2} + x + 3 \\ &y = x + 7\end{aligned} \right.$

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{x_1} = - 2 \\ &{y_1} = 5 \\ &A\left( { - 2;5} \right)\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&{x_2} = 2 \\ &{y_2} = 9 \\ &B\left( {2;9} \right)\end{aligned} \end{array}$

475 png

$P = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {x + 7} \right)} dx - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} + x + 3} \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {x + 7 - {x^2} - x - 3} \right)} dx =$

$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} dx = - \frac{{{x^3}}}{3} + \left. {4x} \right|_{ - 2}^2 = - \frac{{{2^3}}}{3} + 4 \cdot 2 - \left( { - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} + 4 \cdot \left( { - 2} \right)} \right) =$

$= \frac{{ - 8}}{3} + 8 - \frac{8}{3} + 8 = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}$

Површина између две криве $y = f(x)$ и $y = g(x)$ , где је $f(x) \ge g(x)$ на $[a, b]$ , је $P = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ : од горње криве одузимате доњу. Границе $a$ и $b$ су апсцисе пресечних тачака, па прво решите једначину $f(x) = g(x)$ . Која је крива горња, проверите вредностима у некој тачки између пресека. Обе криве не морају бити изнад осе $x$ , јер разлика $f - g$ не зависи од положаја осе. За параболу $y = ax^2 + bx + c$ и праву постоји провера: површина између њих је $\frac{|a|(x_2 - x_1)^3}{6}$ .

Честа грешка је да се за границе узму нуле параболе уместо пресека, или да се криве одузму обрнутим редом, па се добије негативан број.

Одсечак стазе n1 m

Пресек x₁: −2
Пресек x₂: 4
Површина леје: 9 m²
Саднице, 6 по m²: 54

Површина између кривих је

\int_{x_1}^{x_2}(f - g)\,dx

, где су

x_1

и

x_2

пресеци. Кад стазу спустите, пресеци се размакну, а површина расте као куб њиховог растојања:

\frac{0{,}25(x_2 - x_1)^3}{6}

.

Пејзажни архитекти и баштовани рачунају површину леја и травњака ограничених закривљеним ивицама и правим стазама, да би знали колико садница, земље или семена треба.

Леја у парку

У парку у Суботици леја је ограничена правом стазом $y = 0{,}5x + 1$ и закривљеном ивицом $y = -0{,}25x^2 + x + 3$ (у метрима). Баштован сади 6 садница по квадратном метру. Колико садница треба?

Решење

Пресечне тачке: $-0{,}25x^2 + x + 3 = 0{,}5x + 1$ , тј. $x^2 - 2x - 8 = 0$ , па је $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$ .
Између њих је парабола изнад праве (за $x = 0$ : $3 > 1$ ), па је $P = \int_{-2}^{4}\left(-0{,}25x^2 + 0{,}5x + 2\right)dx$ .
$P = \left(-\frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{4} + 2x\right)\Big|_{-2}^{4} = \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$ m².
Провера обрасцем: $\frac{0{,}25 \cdot 6^3}{6} = 9$ . За 6 садница по квадратном метру треба $6 \cdot 9 = 54$ саднице.

Одговор: Леја има 9 m², па треба 54 саднице.

Задатак за вежбу

Израчунајте површину између параболе $y = x^2 - 2x$ и праве $y = x$ .

Прикажи решење

Пресеци: $x^2 - 3x = 0$ , $x = 0$ и $x = 3$ . Права је изнад параболе, па је $P = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$ .