Неодређени интеграли 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Одредити

Пр.1)   $\int {{x^3}dx} $

Пр.2)   $\int {{x^{ - 7}}dx} $

Пр.3)   $\int {\sqrt x } dx$

Пр.4)   $\int {x\sqrt[3]{x}} dx$

Пр.5)   $\int {\frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^5}}}}}} dx$

Пр.6)   $\int {2{x^5}dx} $

Пр.7)   $\int {\frac{{2dx}}{{3{x^5}}}} $

Пр.8)   $\int {\frac{{\ln 8dx}}{x}} $

Пр.1)   $\int {{x^3}dx}  = \frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + c = \frac{{{x^4}}}{4} + c$

Пр.2)   $\int {{x^{ - 7}}dx}  = \frac{{{x^{ - 7 + 1}}}}{{ - 7 + 1}} + c = \frac{{{x^{ - 6}}}}{{ - 6}} + c $

Пр.3)   $\int {\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + c = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + c = \frac{{2\sqrt {{x^3}} }}{3} + c$

Пр.4)   $\int {x\sqrt[3]{x}} dx = \int {x \cdot {x^{\frac{1}{3}}}} dx = \int {{x^{1 + \frac{1}{3}}}} dx = \int {{x^{\frac{4}{3}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{4}{3} + 1}}}}{{\frac{4}{3} + 1}} + c = \frac{{{x^{\frac{7}{3}}}}}{{\frac{7}{3}}} + c = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^7}}}}}{7} + c$

Пр.5)   $\int {\frac{x}{{\sqrt[3]{{{x^5}}}}}} dx = \int {\frac{x}{{{x^{\frac{5}{3}}}}}} dx = \int {{x^{1 - \frac{5}{3}}}} dx = \int {{x^{ - \frac{2}{3}}}} dx = \frac{{{x^{ - \frac{2}{3} + 1}}}}{{ - \frac{2}{3} + 1}} + c = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{{\frac{1}{3}}} + c = 3\sqrt[3]{x} + c$

Пр.6)   $\int {2{x^5}dx}  = 2\int {{x^5}dx}  = 2 \cdot \frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} + c = 2 \cdot \frac{{{x^6}}}{6} + c = \frac{{{x^6}}}{3} + c $

Пр.7)   $\int {\frac{{2dx}}{{3{x^5}}}}  = \frac{2}{3}\int {\frac{{dx}}{{{x^5}}}}  = \frac{2}{3}\int {{x^{ - 5}}dx}  = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{x^{ - 4}}}}{{ - 4}} + c =  - \frac{1}{{6{x^4}}} + c $

Пр.8)   $\int {\frac{{\ln 8dx}}{x}}  = \ln 8\int {\frac{{dx}}{x}}  = \ln 8 \cdot \ln \left| x \right| + c $