Интеграција рационалних функција 4

Интеграли. Особине интеграла. Интеграција рационалних функција. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.4) Решити $\int {\frac{{dx}}{{{x^5}2{x^3} + x}}}$

Пр.4) $\int {\frac{{dx}}{{{x^5}2{x^3} + x}}}$

$\frac{1}{{{x^5} + 2{x^3} + x}} = \frac{{2{x^2} - 5x + 1}}{{x\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Dx + E}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} =$

$= \frac{{A{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + \left( {Bx + C} \right)x\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Dx + E} \right)x}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

$1 = A{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + \left( {Bx + C} \right)x\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Dx + E} \right)x$

$0{x^4} + 0{x^3} + 0{x^2} + 0x + 1 = A{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + \left( {Bx + C} \right)x\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {Dx + E} \right)x =$

$= A{x^4} + 2A{x^2} + A + B{x^4} + B{x^2} + C{x^3} + Cx + D{x^2} + Ex =$

$= \left( {A + B} \right){x^4} + C{x^3} + \left( {2A + B + D} \right){x^2} + \left( {C + E} \right)x + A$

$\left\{ \begin{aligned}&A + B = 0 \\ &C = 0 \\ &2A + B + D = 0 \\ &C + E = 0 \\ &A = 1\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}&B = - 1 \\ &C = 0 \\ &D = - 1 \\ &E = 0 \\ &A = 1\end{aligned} \right.$

$\int {\frac{{dx}}{{{x^5} + 2{x^3} + x}}} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{Dx + E}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)} dx =$

$= \int {\frac{1}{x}dx - \int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} dx - \int {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} } dx =$

${x^2} + 1 = t$

$2xdx = dt$

$2xdx = dt$

$= \int {\frac{1}{x}dx - \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{t}} dt - \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{{{t^2}}}} } dt = \int {\frac{1}{x}dx - \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} dt - \frac{1}{2}\int {{t^{ - 2}}} } dt =$

$= \ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left| t \right| - \frac{1}{2}\frac{{{t^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = \ln \left| x \right| - \ln {\left| t \right|^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{2t}} + C =$

$= \ln \left| x \right| - \ln {\left| {{x^2} + 1} \right|^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + C = \ln \left| {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}} \right| + \frac{1}{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + C =$

$= \ln \left| {\frac{x}{{^{\sqrt {{x^2} + 1} }}}} \right| + \frac{1}{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + C$

Ако именилац има квадратни чинилац без реалних нула, као $x^2 + 1$ или $x^2 + x + 1$ , у бројиоцу његовог разломка стоји линеаран израз: $\frac{Bx + C}{x^2 + 1}$ . Ако се тај чинилац понавља, додаје се и $\frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2}$ . Тако је $\frac{1}{x(x^2 + 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} + \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2}$ , а константе налазите поређењем коефицијената. Делове интегралите табличним интегралима, $\int \frac{x\,dx}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$ и $\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \operatorname{arctg} x$ , а сменом $t = x^2 + 1$ добија се $\int \frac{x\,dx}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{1}{2(x^2 + 1)}$ . Кад квадратни чинилац није $x^2 + 1$ , већ $x^2 + px + q$ , бројилац прво раставите тако да један део буде извод имениоца, а за други део трином допуните до квадрата и добијете арктангенс.

Најчешћа грешка је да се у бројиоцу разломка са квадратним чиниоцем напише само константа; тада систем за константе нема решења.

Брзина v₁8 m/s

Време до v₁: 16,8 s
Брзина v₁: 28,8 km/h

Крива показује како брзина бициклисте расте са временом, нацртана из

t(v)

из примера. Близу највеће брзине, 10 m/s, убрзање је све мање: до 8 m/s треба око 17 s, а до 9,5 m/s већ око 35 s.

Отпор ваздуха расте са квадратом брзине, па снага потребна за вожњу расте са кубом брзине. Зато се време убрзања бицикла, аутомобила или воза рачуна интегралом у ком се јавља $a^3 - v^3 = (a - v)(a^2 + av + v^2)$ , са квадратним чиниоцем без реалних нула.

Бициклиста убрзава

Бициклиста на равном путу поред Дунава вози сталном снагом $P = 200$ W. Он и бицикл имају масу 80 kg, а по поједностављеном моделу успорава их само отпор ваздуха $0{,}2v^2$ N. Из $P = Fv$ и другог Њутновог закона следи $80v\frac{dv}{dt} = 200 - 0{,}2v^3$ . Колико му времена треба да из мировања убрза до 8 m/s?

Решење

За мали пораст брзине $dv$ треба време $dt = \frac{80v\,dv}{200 - 0{,}2v^3} = \frac{400v\,dv}{1000 - v^3}$ , уз $t(0) = 0$ . Највећа брзина је 10 m/s, кад је $v^3 = 1000$ .
Именилац: $1000 - v^3 = (10 - v)(v^2 + 10v + 100)$ , а трином нема реалних нула (дискриминанта је $100 - 400 < 0$ ). Пишемо $\frac{v}{1000 - v^3} = \frac{A}{10 - v} + \frac{Bv + D}{v^2 + 10v + 100}$ .
Из $v = A(v^2 + 10v + 100) + (Bv + D)(10 - v)$ : за $v = 10$ је $A = \frac{1}{30}$ , поређење уз $v^2$ даје $B = A = \frac{1}{30}$ , а слободни чланови $100A + 10D = 0$ , па је $D = -\frac{1}{3}$ .
Бројилац другог разломка, $\frac{v - 10}{30}$ , растављамо на извод имениоца и остатак: $v - 10 = \frac{1}{2}(2v + 10) - 15$ , а $v^2 + 10v + 100 = (v + 5)^2 + 75$ . Добија се $t(v) = \frac{40}{3}\left(-\ln(10 - v) + \frac{1}{2}\ln(v^2 + 10v + 100) - \sqrt 3\operatorname{arctg}\frac{v + 5}{5\sqrt 3}\right) + C$ .
Из $t(0) = 0$ и $\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt 3} = \frac{\pi}{6}$ следи $C = \frac{20\sqrt 3\pi}{9} \approx 12{,}09$ . За $v = 8$ : $t \approx \frac{40}{3}(-0{,}693 + 2{,}749 - 1{,}703) + 12{,}09 \approx 4{,}70 + 12{,}09 \approx 16{,}8$ s.

Одговор: Бициклиста достигне 8 m/s, то јест 28,8 km/h, за око 16,8 s.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\int \frac{dx}{x^3 + x}$ .

Прикажи решење

$x^3 + x = x(x^2 + 1)$ и $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1}$ , па је интеграл $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C = \ln\frac{|x|}{\sqrt{x^2 + 1}} + C$ .