Збир две странице у троуглу већи је од треће сранице, а разлика две странице у троуглу мања је од треће странице
$a + b > c,{\rm{ }}a - b < c$.
Збир унутрашњих углова у троуглу је $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $, а збир спољашњих углова је ${\alpha _1} + {\beta _1} + {\gamma _1} = 360^\circ $.
Спољашњи угао једног угла троугла једнак је збиру остала два угла троугла, тј. ${\alpha _1} = \beta + \gamma $.
Четири значајне тачке троугла
Тежиште
Тежишна линија (медијана) троугла, у ознаци $t_a,t_b,t_c$, је дуж одређена теменом троугла и средином наспрамне странице.
Тежишне линије троугла секу се у једној тачки, тачки Т коју називамо тежиште троугла, и подељене су том тачком у односу 2:1 (посматрајући од темена).
$AT:AT_1=2:1$, $BT:BT_1=2:1$, $CT:TC_1=2:1$
Дужина тежишне дужи ${t_a}$ која одговара страници $a$ је
$${t_a} = \frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}{2}$$
Центар уписане кружнице
Симетрала угла троугла је права која полови унутрашњи угао троугла. Симетрале углова троугла $s_a,s_b$ и $s_c$ секу се у једној тачки, центру уписане кружнице, тачки $S$.
Дужина одсечка симетрале угла $\alpha $, одређеног теменом и тачком пресека те симетрале и наспрамне странице, је
$${l_\alpha } = \frac{{\sqrt {bc\left( {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right)} }}{{b + c}}$$
Полупречник кружнице уписане у троугао је
$$r_u = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}}{p},} {\rm{ }}s = \frac{{a + b + c}}{2}$$
Ортоцентар
Висина троугла је дуж одређена теменом троугла и подножјем нормале спуштене из тог темена на наспрамну страницу троугла.
Висине троугла секу се у једној тачки, ортоцентру.
Дужина висине која одговара страници $a$ је
${h_c} = a\sin \beta = b\sin \alpha $.
Центар описане кружнице
Симетрала странице троугла је права нормална на страницу троугла у њеној средишњој тачки.
Симетрале страница троугла $s_a,s_b$ и $s_c$ секу се у једној тачки, центру описане кружнице, тачки $O$.
Полупречник кружнице описане око троугла је
$$r_o= \frac{{a + b + c}}{{8\cos \frac{a}{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}}.$$
Ако је троугао једнакокрак, онда је висина, тежишна линија, симетрала угла и симетрала странице, спуштене на основицу троугла, поклапају па се и све значајне тачке троугла налазе на тој прави.
Код једнакостраничног троугла $\left( {a = b = c} \right)$ центри уписане и описане кружнице, тежиште и ортоцентар се поклапају.
Средња линија троугла
Средња линија троугла је дуж одређена срединама двеју страница троугла. Она је паралелана трећој страници троугла и једнака половини њене дужине.
$MN||AB$ и $MN=\frac{AB}{2}$
Обим и површина троугла
Обим $O$ и површина $P$ троугла су
$O = a + b + c$,
$$P = \frac{{a{h_a}}}{2} = rs = \frac{{abc}}{{4R}}.$$
Херонова формула
$P = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} ,{\rm{ }}s = \frac{{a + b + c}}{2}$
Подударност троуглова
Троуглови $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ су подударни, у ознаци $\Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ ако и само ако је
$AB = {A_1}{B_1}, BC = {B_1}{C_1}, CA = {C_1}{A_1}$
$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}, {\text{ }}\measuredangle B = \measuredangle {B_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$
Први став (ССС)
Ако су све странице странице једнаке одговарајућим страницама другог троугла, онда су та два троугла подударна
$AB = {A_1}{B_1},{\rm{ }}BC = {B_1}{C_1},{\quad}и{\quad}CA = {C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$
Други став (СУС)
Ако су две странице једног троугла једнаки двема страницама и захваћеном углу другог троугла, онда су та два троугла подударна
$AB = {A_1}{B_1}{\rm{ }}AC = {A_1}{C_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle {A} = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.
Трећи став (УСУ)
Ако су страница и на њу налегли углови једног троугла једнаки страници и на њу налеглим угловима другог троугла, онда су та два троугла подударна
$AB = {A_1}{B_1}, \measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$
Четврти став (ССУ)
Ако су две странице и угао наспрам веће од њих једног троугла једнаки двема страницама и углу наспарам веће од њих другог троугла, онда су та два троугла подударна
$AC = {A_1}{C_1}, BC = {B_1}{C_1}, BC > AC,{\quad}и{\quad}\measuredangle A = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.
Сличност троуглова
Троуглови $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ су слични, у ознаци $\Delta ABC \sim \Delta{A_1}{B_1}{C_1}$, ако и само ако је
$\measuredangle A = \measuredangle A, \measuredangle B = \measuredangle {B_1},{\text{ }}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$,
и
$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1}$
Први став
Ако су два угла једног троугла једнака сa два угла другог троугла, онда су ти троуглови слични
$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и $\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$
Други став
Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема старницама другог троугла и углови између тих страница једнаки, онда су ти троуглови слични
$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}AB:{A_1}{B_1} = AC:{A_1}{C_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$
Трећи став
Ако су три странице једног троугла пропорционалне трима страницама другог троугла, онда су ти троуглови слични
$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$
Четврти став
Ако су две странице једног троугла пропорционалне са одговарајућим страницама другог троугла, углови наспрам двеју од тих одговарајућих страница једнаки, а наспрам других двеју страница су углови исте врсте, тј. Оба угла су или оштра, или права или тупа, онда су ти троуглови слични
$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1}$ и $\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и
$\measuredangle C{\text{ }}$ и ${\text{ }}\measuredangle {C_1}$ су исте врсте $ \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$
Правоугли троугао
Нека су $a$ и $b$ катете, а $c$ хипотенуза правоуглог троугла. Важи
Питагорина теорема
${a^2} + {b^2} = {c^2}$
Ако је $h$ висина која одговара хипотенузи, $p$ и $q$ нормалне пријекције катета $a$ и $b$ на хипотенузу $(p+q=c)$, онда је
${h^2} = pq,\quad{a^2} = pc,\quad{b^2} = qc$
Дефиниције тригонометријских функција у правом троуглу
Тригонометријске функције дефинисане су у правоуглом троуглу.
Притом,
$\sin$ (синус) представља однос наспрамне катете и хипотенузе,
$\cos$ (косинус) је однос налегле катете и хипотенузе,
${\text{tg}}$ (тангенс) однос наспрамне и налегле катете, а
${\text{ctg}}$ (котангенс) однос налегле и наспрамне катете.
Нека су $a$ и $b$ катете, $c$ хипотенуза , а $\alpha $ и $\beta $ углови који одговарају катетама $a$ и $b$. Тада важи
$$\alpha + \beta = {90^ \circ }$$
$$\sin \alpha = \cos \beta = \frac{a}{c}$$
$$\cos \alpha = \sin \beta = \frac{b}{c},$$
$${\text{tg}}\alpha = {\text{ctg}}\beta = \frac{a}{b}$$
$${\text{ctg}}\alpha = {\text{tg}}\beta {\text{ = }}\frac{b}{a}.$$
Површина правоуглог троугла
$$P = \frac{{ab}}{2} =\frac{ch_c}{2}= \frac{{{a^2}tg\beta }}{2} = \frac{{{c^2}\sin 2\beta }}{4}$$
Полупречник описане кружнице $r_o=\frac{c}{2}$
Једнакостранични троугао
Једнакостраничан тругао је троугао чије су све странице једнаке. Па су и сви углови овог троугла једнаки и једнаки $60^{\circ}.$
Обим: $O = 3a$
Код једнакостраничног троугла све четири значајне тачке се поклапају, па важи: ${s_a} = {s_\alpha } = h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Полупречник уписане кружнице: $r_u=\frac{1}{3}h= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$
Полупречник описане кружнице: $r_o =\frac{2}{3}h= \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
Површина: $P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Једнакокраки троугао
Једнакокраки троугао је троугао чије су две странице једнаке. Те странице називамо краци једнакокраког троугла, док трећу страницу називамо основицом. Како овај троугао има две једнаке странице има и два једнака угла, углови на основици.
Важи Питагорина теорема: $b^2=h_a^2+(\frac{a}{2})^2$
Обим: $O=a+2b$
Површина: $P=\frac{a \cdot h_a}{2}=\frac{b \cdot h_b}{2}$
$\sin\alpha=\frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a=b \sin\alpha$
$P=\frac{ab\sin\alpha}{2}$
Разностраничан троугао
Нека су $a$, $b$ и $c$ странице, а $\alpha $, $\beta$ и $\gamma $ oдговарајући углови разностраничног троугла. Полуобим је $s = \frac{{a + b + c}}{2}$, полупречник описане кружнице $r_o$, а полупречник уписане кружнице $r_u$.
$O=a+b+c$
$P=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
$\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \Rightarrow h_c=b\sin \alpha$
$P=\frac{bc\sin\alpha}{2}=\frac{ab\sin\gamma}{2}=\frac{ac\sin\beta}{2}$
Херонов образац $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$P=s \cdot r_u$
$P=\frac{abc}{4r_o}$
Синусна теорема
$$\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2r_o.$$
Примењујемо је за одређивање елемената троугла уколико су нам позната два угла троугла и страница наспрам једног од тих углова, или у случају када су нам познате две странице троугла и угао наспрам једне од њих.
Косинусна теорема
${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha $
${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \beta $
${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma $
Примењујемо је за одређивање елемената троугла уколико су нам познате две странице и угао који је њима захваћен, или у случају када су нам познате све странице троугла.
Тангентна теорема
$$\frac{{a - b}}{{a + b}} = \frac{{tg\frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{tg\frac{{\alpha + \beta }}{2}}} = \frac{{tg\frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{ctg\frac{\gamma }{2}}}$$
Теорема о половини угла
$$tg\frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{s\left( {s - c} \right)}},} $$
$$\sin \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{ab}},} $$
$$\cos \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{s\left( {s - c} \right)}}{{ab}}.} $$
Формула Молвајдеа
$$\frac{{a + b}}{c} = \frac{{\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{cos\frac{{\alpha + \beta }}{2}}},$$
$$\frac{{a - b}}{c} = \frac{{\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{\cos \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}.$$
Теорема о пројекцијама
$c = a\cos \beta + b\cos \alpha $
Остале формуле
$$r_o = \frac{s}{{4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}},{\text{ }}s = \frac{{a + b + c}}{2},$$
$$r_u = stg\frac{\alpha }{2}tg\frac{\beta }{2}tg\frac{\gamma }{2},$$
$$r_u = 4r_o\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2},$$
$$r_u = \left( {s - c} \right)tg\frac{\gamma }{2},$$
$${h_c} = a\sin \beta + b\sin \alpha ,$$
$${m_c} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab\cos \gamma } }}{2},$$
$${l_\gamma } = \frac{{2ac\cos \frac{\beta }{2}}}{{a + b}} = \frac{{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}}{{b + c}},$$
$$P = \frac{{ab\sin \gamma }}{2},\quad P = 2{r_o^2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$
$$P = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \gamma }} = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}.$$
