Тригонометрические функции

Тригонометрические функции острого угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник  $ABC$ с прямым углом при вершие $C$.

Обозначим за  $a$ и $b$ длины катетов $BC$ и $CA$, а за $c$ длину гипотенузы  $AB$ треугольника $ABC$. Пусть $\alpha $ зачение угола $\measuredangle CAB$. Тогда:

1. Синус: $\sin \alpha  = \frac{a}{c}$, отношение противолежащего катета к гипотенузе,
2. Косинус: $\cos \alpha  = \frac{b}{c}$, отношение прилежащего катета к гипотенузе,
3. Тангенс: $tg\alpha  = \frac{a}{b}$, отношение противолежащего катета к прилежащему,
4. Котангенс: $ctg\alpha  = \frac{b}{a}$, отношение прилежащего катета  противолежащему,
5. Секанс: $\sec \alpha  = \frac{c}{b}$, отношение гипотенузы к прилегающему катету,
6. Косеканс: $\cos ec\alpha  = \frac{c}{a}$, отношение гипотенузы к противолежащиму катету.

Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность — это окружность  $k$ с цетром в начале системы координат $O$ и радиусом  $1$. Точки пересечения окружости $k$ с положительным направлением осей $Ox$ и $Oy$ обозначим $A$ и $B$.

Пусть $M\left( {x,y} \right)$ произвольная точкка окружности $k$. Касательные к окружности $k$ в точках $A$ и $B$ пересекают прямую $OM$ в точках $N\left( {1,{y_n}} \right)$ и $P\left( {{x_p},1} \right)$ соответственно.

Пусть $\varphi $ значение угола $\measuredangle AOM$. Будем отсчитываь углы от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.

Тогда

$\sin \varphi  = y$,

$\cos \varphi = x$,

$tg \varphi = {y_n}$,

$ctg \varphi = {x_p}$

Так как углам $\varphi + 2k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ на окружности $k$ соответствует точка $M$, тогда

$\sin \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \sin \varphi$,

$\cos \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \cos \varphi$

Углам $t + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ соответствуют точки $N$ и $P$,  тогда

$tg\left( {\varphi + k\pi } \right) = tg\varphi$,

$ctg\left( {\varphi + k\pi } \right) = ctg\varphi$.

Так как точка $M\left( {x,y} \right) = M\left( {\cos \varphi,\sin \varphi} \right)$ принадлежит окружности $k$ для любого $\varphi \in \mathbb{R}$, то справедливо, что

$ — 1 \leqslant \sin \varphi \leqslant 1$,

$ — 1 \leqslant \cos \varphi \leqslant 1$,

${\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1$

Знаки тригонометрических функций по квадрантам

Свойства тригонометрических функций

$\sin \left( { — \alpha } \right) =  — \sin \alpha $, $\cos \left( { — \alpha } \right) = \cos \alpha $

$tg\left( { — \alpha } \right) =  — tg\alpha $, $ctg\left( { — \alpha } \right) =  — ctg\alpha $

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {2k\pi + \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\pi \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ \mp \sin } \\
{ — \cos } \\
{ \pm tg} \\
{ \pm ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ + \sin } \\
{ \mp \cos } \\
{ \mp tg} \\
{ \mp ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ — \sin } \\
{ \pm \cos } \\
{ \mp tg} \\
{ \mp ctg}
\end{array}} \right\}$

Основные тригонометрические формулы

${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$,

$t{\text{g}}\alpha  \cdot {\text{ctg}}\alpha  = 1$

${\text{tg}}\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$,

${\text{ctg}}\alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$,

$\sin \alpha  \cdot \cos ec\alpha  = 1$,

$\cos \alpha  \cdot \sec \alpha  = 1$,

${\sec ^2} = 1 + t{g^2}\alpha $,

$\cos e{c^2}\alpha  = 1 + ct{g^2}\alpha $,

${\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + t{g^2}\alpha }} = \frac{{ct{g^2}\alpha }}{{1 + ct{g^2}\alpha }}$,

${\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + ct{g^2}\alpha }} = \frac{{t{g^2}\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }}$.

Значения тригонометрических функций для различных углов

Формулы сложения и вычитания аргументов

$\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \sin \alpha  \cdot \cos \beta  \pm \cos \alpha  \cdot \sin \beta $,

$\cos \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \cos \alpha  \cdot \cos\beta  \mp \sin \alpha  \cdot \sin \beta $.

Для любых $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ справедливо

$tg\left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{tg\alpha  \pm tg\beta }}{{1 \mp tg\alpha  \cdot tg\beta }}$, $\left( {1 \mp tg\alpha tg\beta  \ne 0} \right)$

Для любых $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ справедливо

$ctg\left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{ctg\alpha  \cdot ctg\beta  \mp 1}}{{ctg\alpha  \pm ctg\beta }}$, $\left( {ctg\alpha  \pm ctg\beta  \ne 0} \right)$

Тригонометрические формулы двойного угла

 $\sin 2\alpha {\text{   =   }}2\sin \alpha \cos \alpha $,

$\cos 2\alpha {\text{   =   }}{\cos ^2}\alpha  — {\sin ^2}\alpha  = 1 — 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  — 1$

$tg2\alpha  = \frac{{2tg\alpha }}{{1 — t{g^2}\alpha }}$,

$ctg2\alpha  = \frac{{ct{g^2}\alpha  — 1}}{{2ctg\alpha }}$.

Тригонометрические формулы половинного угла

$\sin \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 — \cos \alpha }}{2}} $,

$\cos \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} $,

$tg\frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 — \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 — \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$,

$ctg\frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 — \cos \alpha }} = } \frac{{\sin \alpha }}{{1 — \cos \alpha }} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.

Формулы преобразования суммы и разноси функций в произведение

$\sin \alpha  \pm \sin \beta  = 2\sin \frac{{\alpha  \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha  \mp \beta }}{2}$,

$\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha  — \beta }}{2}$,

$\cos \alpha  — \cos \beta  =  — 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha  — \beta }}{2}$,

$tg\alpha  \pm tg\beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha  \cdot \cos \beta }}$,

$ctg\alpha  \pm ctg\beta  = \frac{{\sin \left( {\beta  \pm \alpha } \right)}}{{\sin \alpha  \cdot \sin \beta }}$.

Формулы преобразования произведения функций в сумму и разность

$\sin \alpha  \cdot \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  — \beta } \right) — \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right].$

$\sin \alpha  \cdot \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  — \beta } \right)} \right],$

$\cos \alpha  \cdot \cos \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  — \beta } \right)} \right].$

Важные тригономерические формулы

$\sin \alpha  = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}$,

$\cos \alpha  = \frac{{1 — t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}$,

${\text{tg}}\alpha  = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 — t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}$

$\sin \alpha  + \sin 2\alpha  + \sin 3\alpha  + … + \sin n\alpha  = \frac{{\cos \frac{\alpha }{2} — \cos \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}$

$\cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha  + … + \cos n\alpha  = \frac{{ — \sin \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}$