Непрерывность функции

Функция $f$, определённая на интервале $\left( {a,b} \right)$ — непрерывна в точке ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$, если для любого $\varepsilon  > 0$ найдётся $\delta  = \delta \left( \varepsilon  \right)$, такое, что для любого $x \in D\left( f \right)$ справедливо:

$\left| {x — {x_0}} \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) — f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon. $

Функция $f$ — непрерывна на интервале $\left( {a,b} \right) \subset D\left( f \right)$, если она непрерывна в каждой точке ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$.

Функция $f$ — непрерывна в точке ${x_0} \in D\left( f \right)$ слева (справа), если для любого $\varepsilon  > 0$ найдётся $\delta  = \delta \left( \varepsilon  \right)$, такое, что для любого $x \in D\left( f \right)$ справедливо:

$x — {x_0} < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) — f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon$, $\left( {{x_0} — x < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) — f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon } \right)$.

Функция $f$ непрерывна в точке ${x_0}$ тогда и только тогда, когда непрерывна слева и справа в этой точке.

Функция $f$ — непрерывна на отрезке  $\left[ {a,b} \right]$, если она непрерывна на интервале $\left( {a,b} \right)$, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$.

Если функция $f$ не является непрерывной в точке ${x_0}$, то говорят что $f$ имеет разрыв в этой точке.

Свойства непрерывных функций

1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.
2. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
3. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
4. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
5. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
6. Если функция   $y = g\left( t \right)$ непрерывна в точке ${t_0}$, а функция   $y = f\left( x \right)$ непрерывна в точке ${x_0} = g\left( {{t_0}} \right)$, тогда сложная функция  $y = f\left( {g\left( t \right)} \right)$ непрерывна в точке ${t_0}$.
7. Многочлен степени $n$ непрерывен для любого ${x_0} \in \mathbb{R}$.
8. Рациональная функция непрерывна во всех точках, где знаменатель не равен нулю.
9. Если функция непрерывна и положительна (отрицательна) в точке ${x_0}$, тогда найдётся окрестность  $U\left( {{x_0}} \right)$ точки ${x_0}$ такая что для любого
   $x \in U\left( {{x_0}} \right) \cap D\left( f \right)$ справедливо $f\left( x \right) > 0$ $\left( {f\left( x \right) < 0} \right)$.

ОСвойства непрерывных функций на отрезке

1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на том отрезке.
2. Для любой функции $f$, непрерывной на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ справедливо
   $m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right)$ и $M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right)$.
3. Пусть $f$ функция, непрерывная на отрезке $\left[ {a,b} \right]$.
   $m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) < M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right).$
   и пусть $\alpha  \in \left( {m,M} \right)$. Тогда существует точка ${x_0}$ из интервала $\left( {a,b} \right)$, для которой $f\left( {{x_0}} \right) = \alpha$, т.е. ${C_D}\left( f \right) = \left[ {m,M} \right]$.
4. Если функция $f$ непрерывная на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ и $f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0$ (функция имеет различные знаки в точках $a$ и $b$), тогда найдётся точка $c \in \left( {a,b} \right)$ такая что
   $f\left( c \right) = 0$.

Связь между непрерывностью и предельными значениями функции

Функция $f$ определена в некоторой окрестности точки ${x_0}$, непрерывна в  тачке ${x_0}$ , тогда и только тогда, когда существует предел функции $f$ в этой точке ${x_0}$,  т.е.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$

Равномерно непрерывная функция

Функция $f$ определенная на множестве $A \subset D\left( f \right)$ называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого $\varepsilon  > 0$ найдётся $\delta  = \delta \left( \varepsilon  \right) > 0$,  такое что для любого ${x_1},{x_2} \in A$ справедливо

$\left| {{x_1} — {x_2}} \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( {{x_1}} \right) — f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$.

Если функция $f$ равномерно непрерывна на множестве $A$, тогда она и непрерывна на $A$.

Если $A$ непрерывный интервал, справедливо и обратное:
Любая функция непрерывная на $\left[ {a,b} \right]$ равномерно непрерывная функция на $\left[ {a,b} \right]$.