Call Now Button
Исследование функции и построение графика

Примеры исследования функций

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.

  1. Нахождения области определения функции.
  2. Нахождения области значений функции.
  3. Исследования функции на четность или нечетность и периодичность.
  4. Нахождения асимптот.
  5. Нахождения нулей функции.
  6. Знака,
  7. Нахождения промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
  8. Нахождения промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

Пример 1

$y = f\left( x \right) =  — 12{x^5} + 25{x^3} — 15x$

  1. $D\left( f \right) = \mathbb{R}$.
  2. $f\left( { — x} \right) =  — 12{\left( { — x} \right)^5} + 25{\left( { — x} \right)^3} — 15\left( { — x} \right)$ $=$ $12{x^5} — 25{x^3} + 15x =  — f\left( x \right)$  — функция нечётная, её график семметричен относительно начала координат.
  3. $f\left( x \right) =  — x\left( {12{x^4} — 25{x^2} + 15} \right)$,  $y = 0$ когда $x = 0$ или $12{x^4} — 25{x^2} + 15 = 0$.  Второе уравнение не имеет действительных корней, тогда функция имеет только один ноль: $x = 0$. Значит график функции пересекает ось $Ox$ в точке $\left( {0,0} \right)$.
  4. Так как $12{x^4} — 25{x^2} + 15 > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, тогда $y > 0$ для $x < 0$ и $y < 0$ для $x > 0$.
    $x$$\left( { — \infty ,0} \right)$$0$$\left( {0, + \infty } \right)$
    $y$$+$$0$$-$
  5. $y` =  — 60{x^4} + 75{x^2} — 15$. $y` = 0$ за $ — 60{x^4} + 75{x^2} — 15 = 0$, т.е. $ — 4{x^4} + 5{x^2} — 1 = 0$.
    Тогда${x_1} =  — 1$ , ${x_2} =  — \frac{1}{2}$, ${x_3} =  — \frac{1}{2}$, ${x_4} = 1$

    $x$$\left( { — \infty , — 1} \right)$$ — 1$$\left( { — 1, — \frac{1}{2}} \right)$$ — \frac{1}{2}$$\left( { — \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$
    $y`$—$0$+$0$—
    $y$$ \searrow $2$ \nearrow $$\frac{{19}}{4}$$ \searrow $
    вывод$min$$max$

     

    $x$$\frac{1}{2}$$\left( {\frac{1}{2},1} \right)$$1$$\left( {1, + \infty } \right)$
    $y`$$0$$+$$0$$-$
    $y$$ — \frac{{19}}{4}$$ \nearrow $$-2$$ \searrow $
    вывод$min$$max$
  6. $y« =  — 240{x^3} + 150x$. $y« = 0$ за $x\left( { — 8{x^2} + 5} \right) = 0$ , тј. ${x_1} =  — \frac{{\sqrt {10} }}{4}$, ${x_2} = 0$, ${x_3} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$.
    $x$$\left( { — \infty ,\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)$$ — \frac{{\sqrt {10} }}{4}$$\left( { — \frac{{\sqrt {10} }}{4},0} \right)$$0$
    $y`$$+$$0$$-$$0$
    $y$$ \cup $$\frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$$ \cap $$0$
    выводт. перегиба

     

    $x$$\left( {0,\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)$$\frac{{\sqrt {10} }}{4}$$\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}, + \infty } \right)$
    $y«$ $+$$0$$-$
    $y$$ \cup $$ — \frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$$ \cap $
    выводт. перегиба

ispitivanje funkcija primer 1

Пример 2

$y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} — 3x + 2}}{{x + 1}}$

  1. $D\left( f \right) = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
  2. Функция ни чётная  ни нечётная
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  — 1 — 0} \frac{{{x^2} — 3x + 2}}{{x + 1}} =  — \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  — 1 + 0} \frac{{{x^2} — 3x + 2}}{{x + 1}} =  + \infty $, прямая $x =  — 1$ вертикальная асимптота.$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} — 3x + 2}}{{{x^2} + x}} = 1\left( { = a} \right),$

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {f\left( x \right) — x} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^2} — 3x + 2 — {x^2} — x}}{{x + 1}}$ $ = 1\left( { = a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ — 4x + 2}}{{x + 1}}$ $ =  — 4\left( { = b} \right)$

    прямая $y = x — 4$  — наклонная асимптота.

  4. $y = 0$ за  ${x^2} — 3x + 2 = 0$, тј. за ${x_1} = 1$, ${x_2} = 2$
  5. $x$$x \in \left( { — \infty , — 1} \right)$$x \in \left( { — 1,1} \right)$$x = 1$$x \in \left( {1,2} \right)$$x = 2$$x \in \left( {2, + \infty } \right)$
    $y$$-$$+$$0$$-$$0$$+$
  6. $y` = \frac{{\left( {2x — 3} \right)\left( {x + 1} \right) — \left( {x — 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{{x^2} + 2x — 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$$y` = 0$ за ${x^2} — 2x — 5 = 0$, тј. за ${x_1} =  — 1 — \sqrt 6 ,{x_2} =  — 1 + \sqrt 6 $
    $x$$x \in \left( { — \infty , — 1 — \sqrt 6 } \right)$$x =  — 1 — \sqrt 6 $$x \in \left( { — 1 — \sqrt 6 , — 1} \right)$
    $y`$$+$$0$$-$
    $y$$ \nearrow $$y \approx  — 10$$ \searrow $
    вывод$\max $

     

    $x$$x \in \left( { — 1, — 1 + \sqrt 6 } \right)$$x =  — 1 + \sqrt 6 $$x \in \left( { — 1 + \sqrt 6 , + \infty } \right)$
    $y`$$-$$0$$+$
    $y$$ \searrow $$y \approx  — 0,1$$ \nearrow $
    вывод$\min $
  7. $y« = \frac{{\left( {2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2} — \left( {{x^2} + 2x — 5} \right) \cdot 2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}$$ = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} — 2\left( {{x^2} + 2x — 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1 — {x^2} — 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{12}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$.

    Точек перегиба нет.

    $x$$x \in \left( { — \infty , — 1} \right)$$x \in \left( { — 1, — \infty } \right)$
    $y«$$-$$+$
    $y$$ \cap $$ \cup $

 

ispitivanje funkcija primer 2

Пример 3

$y = \ln \frac{{2x — 1}}{{x + 2}}$

  1. $D = \left\{ {x|\frac{{2x — 1}}{{x + 2}} > 0} \right\}$ $ = \left( { — \infty , — 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$
  2. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодеская.
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \ln \frac{{2x — 1}}{{x + 2}} = \ln 2$, прямая $y = \ln 2$ — горизонтальная асимтота.$\mathop {\lim }\limits_{x \to  — 2 — 0} \ln \frac{{2x — 1}}{{x + 2}} = \infty$, прямая  $x =  — 2$ — вертикальная асимптота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2} + 0} \ln \frac{{2x — 1}}{{x + 2}} =  — \infty$, прямая $x = \frac{1}{2}$ — тоже вертикальная асимптота.

  4. $y = 0$ для  $\frac{{2x — 1}}{{x + 2}} = 1$,  т.е. для $x = 3$.
  5. $y > 0$ для  $\frac{{2x — 1}}{{x + 2}} > 1$, а $y < 0$ за $0 < \frac{{2x — 1}}{{x + 2}} < 1$.
    $x$$x \in \left( { — \infty , — 2} \right)$$x \in \left( {\frac{1}{2},3} \right)$$x = 3$$x \in \left( {3, + \infty } \right)$
    $y$$+$$-$$0$$+$
  6. $y` = \frac{{x + 2}}{{2x — 1}} \cdot \frac{{2\left( {x + 2} \right) — \left( {2x — 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ $ = \frac{5}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0$, $x \in D$
    Функция не имеет точек экстремума и на всей области определения функции монотонно растёт.
  7. $y« =  — 5\frac{{4x + 3}}{{{{\left( {2x — 1} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
    Точка $x =  — \frac{3}{4}$ (для которой $y« = 0$) не принадлежит области определения функции, и функция не имеет точек перегиба.

    $x$$x \in \left( { — \infty ,\frac{1}{2}} \right)$$x \in \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$
    $y«$$+$$-$
    $y$$ \cup $$ \cap $

ispitivanje funkcija primer 3

 

Пример 4

$y = {e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}}$

  1. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
  2. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодеская.
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}} = {e^1} = e$, прямая $y = e$ — горизонтальная асимтота.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + 0} {e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}} =  + \infty$, прямая $x = 1$ — вертикальная асимптота.

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 — 0} {e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}} = 0.$

  4. Функция не имеет нулей.
  5. Функция положительна на всей бласти определения.$y` = {e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}} \cdot \frac{{x — 1 — \left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x — 1} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{ — 3}}{{{{\left( {x — 1} \right)}^2}}}{e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}} < 0$,

    функция не имеет экстремумов и монотонно убывает.

  6. —
  7. $y« = \frac{{6x + 3}}{{{{\left( {x — 1} \right)}^4}}}{e^{\frac{{x + 2}}{{x — 1}}}},y« = 0$ за  $x = \frac{1}{2}$.
    $x$$x \in \left( { — \infty , — \frac{1}{2}} \right)$$x =  — \frac{1}{2}$$x \in \left( { — \frac{1}{2},1} \right)$$x \in \left( {1, + \infty ,} \right)$
    $y«$$-$$0$$+$$+$
    $y$$ \cap $$\frac{{65\sqrt {10} }}{{64}}$$ \cup $$ \cup $
    выводт. перегиба

ispitivanje funkcija primer 4

Call Now Button