Применение определённого интервала

Вычисление длин дуг кривых

Длина дуги в декартовых координатах.

Если $f\left( x \right)$, $x \in \left[ {a,b} \right]$  — непрерывно дифференцируемая функция, то длина соответствующей дуги кривой вычисляется по формуле

$l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f’\left( x \right)} \right)}^2}} dx} $.

Длина дуги в полярных координатах.

Если $\rho  = \rho \left( \varphi  \right)$ — непрерывно дифференцируемая функция при ${\varphi _1} \leqslant \varphi  \leqslant {\varphi _2},$ то длина соответствующего отрезка кривой равна

$l = \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {\sqrt {{\rho ^2}\left( \varphi  \right) + {{\left( {\rho ‘\left( \varphi  \right)} \right)}^2}} d\varphi } $

Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если $x = x\left( t \right),{\text{ }}y = y\left( t \right),t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]$  — параметрические уравнения гладкой кривой, то длина ее дуги равна

$l = \int\limits_\alpha ^\beta  {\sqrt {{{\left( {x’\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y’\left( t \right)} \right)}^2}} dt} $,

где $x’\left( t \right),y’\left( t \right)$ — производные функций $x = x\left( t \right),{\text{ }}y = y\left( t \right)$ соответственно, по параметру $t$ .

Вычисление площадей плоских фигур.

Формула площади в декартовых координатах.

Как следует из геометрического смысла определенного интеграла, для неотрицательной подынтегральной функции интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых $x = a$, $x = b$, $y = 0$ и кривой $f\left( x \right)$

\[S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\]

В общем случае, когда фигура ограничена сверху кривой $f\left( x \right)$, а снизу кривой $g\left( x \right)$, формула для вычисления площадей принимает вид:

\[S = \int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) — g\left( x \right)} \right)} dx\]

В этой формуле знаки функций $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ значения не имеют.

Формула площади в полярной системе координат.

Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой $\rho  = \rho \left( \varphi  \right)$ и $\varphi  = {\varphi _1}$ и $\varphi  = {\varphi _2}$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {{\rho ^2}\left( \varphi  \right)d\varphi } $, где $0 < {\varphi _2} — {\varphi _1} \leqslant 2\pi$.

Вычисление площади поверхностей и объема тела вращения.

Пусть $y = f\left( x \right)$ неотрицательная функция,имеющую непрерывеную производную на интервале $\left[ {a,b} \right]$. Часть кривой $f\left( x \right)$ от точки $\left( {a,f\left( a \right)} \right)$ до точки $\left( {b,f\left( b \right)} \right)$ обозначим за $k$. Вращая кривую $k$ вокруг оси $x$, получим поверхность площадь которой равна:

\[P = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)\sqrt {1 + {{\left( {f’\left( x \right)} \right)}^2}} dx} \],

а область ограниченная кривой $k$, осью $x$ и прямыми $x = a$ и $x = b$, образует тело, объём которого равен:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$