Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Основные свойства параллелограмма

• Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам
• Противоположные углы параллелограмма одинаковые

Если справедливо одно из этих свойств, то справедливы и остальные.

Диагонали

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right).$$

Площадь

$$P = ah.$$

Прямоугольник

Параллелограмм является прямоугольником, если

1. все углы прямые или
2. диагонали равны.

Площадь прямоугольника

$$P = ab.$$

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник у которого все стороны равны.

$$d = a\sqrt {2,} {\rm{   }}a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}d,{\rm{   }}P = {a^2} = \frac{{{d^2}}}{2}.$$

Ромб

Ромб — это параллелограмм у которого все стороны равны.

Признаки ромба

1. Его диагонали пересекаются под прямым углом,
2. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

По теореме Пифагора: $(\frac{d_1}{2})^2+(\frac{d_2}{2})^2=a^2$

Площадь $P = ah = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$

Из определения  $\sin$ следует $\sin \alpha=\frac{h}{a} \Rightarrow h=a\sin\alpha$, тогда площадь ромба вычисляем по формуле: $P=a^2\sin\alpha.$

Радиус вписанной окружности: $r_u=\frac{h}{2}$

Если применим теорему косинусов, то $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:

$d_2^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\beta$

Т. к. $\alpha+\beta=180^{\circ}$, то $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, и имеем:

$d_2^2=2a^2+-2a^2cos\alpha$

$d_1^2=2a^2+2a^2\cos\alpha$

И тогда справедливо:

$d_1^2+d_2^2=4a^2$

                                                $d_1^2-d_2^2=4a^2\cos\alpha$

Площадь

$$P = ah = {a^2}\sin \alpha  = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}.$$