Производная функции

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки ${x_0} \in R$ определена функция $f:U\left( {{x_0}} \right) \subset R \to R$. Производной функции $f$  в точке ${x_0}$ называется предел, если он существует

$f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) — f\left( {{x_0}} \right)}}{{x — {x_0}}}$.

Односторонние производные

Производная $f’\left( x \right)$ функции $f$  в точке ${x_0}$, правая производная ${{f’}_ + }\left( {{x_0}} \right)$ и левая производная ${{f’}_ — }\left( {{x_0}} \right)$  задаются, соответственно, формулами \[\begin{gathered}
{{f’}_ + }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} \frac{{f\left( x \right) — f\left( {{x_0}} \right)}}{{x — {x_0}}} \hfill \\
{{f’}_ — }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} — 0} \frac{{f\left( x \right) — f\left( {{x_0}} \right)}}{{x — {x_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \]

Если существует производная $f’\left( {{x_0}} \right)$, то существуют обе односторонние производные (правая ${{f’}_ + }\left( {{x_0}} \right)$  и левая ${{f’}_ — }\left( {{x_0}} \right)$), и $f’\left( x \right) = {{f’}_ + }\left( {{x_0}} \right) = {{f’}_ — }\left( {{x_0}} \right)$.

Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, ${{f’}_ + }\left( {{x_0}} \right) = {{f’}_ — }\left( {{x_0}} \right)$, то существует и производная $f\left( {{x_0}} \right)$, совпадающая с их общим значением.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала $\left( {a,b} \right)$, называется дифференцируемой на интервале $\left( {a,b} \right)$.

Пусть теперь $\left[ {a,b} \right]$  — замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала $\left( {a,b} \right)$, дифференцируемая справа в точке $a$  и дифференцируемая слева в точке $b$, называется дифференцируемой на отрезке $\left[ {a,b} \right]$.

Функция дифференцируема в окрестности $U\left( {{x_0}} \right)$ точки ${x_0}$, если она дифференцируемая во всех точках этой окрестности.