Правило Лопиталя

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет  место неопределенность вида ноль делить на ноль $\left( {\frac{0}{0}} \right)$ или бесконечность делить на бесконечность $\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)$.

Формулировка правила Лопиталя

Пусть $f$ и $g$ — функции, дифференцируемые в некоторой окрестности точки ${x_0}$, за исключением, быть может, самой точки ${x_0}$, и пусть при $x \to {x_0}$ эти функции обе стремятся к нулю или обе стремятся к бесконечности. В таком случае, если отношение их производных  $\frac{{f’\left( x \right)}}{{g’\left( x \right)}}$ имеет предел при $x \to {x_0}$, то это же предел будет иметь и отношение самих функций $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$, т.е.\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f’\left( x \right)}}{{g’\left( x \right)}}.\]

Или другими словами. Если \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \left( {\frac{0}{0}} \right)\] или \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\]  и если функции $f$ и $g$ – дифференцируемы в окрестности точки ${x_0}$, то \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f’\left( x \right)}}{{g’\left( x \right)}}\]  В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа $\left( {0 \cdot \infty } \right),\left( {\infty  — \infty } \right),\left( {{0^0}} \right),\left( {{1^\infty }} \right),\left( {{\infty ^0}} \right).$ Первые две неопределенности $\left( {0 \cdot \infty } \right),\left( {\infty  — \infty } \right)$  можно свести к типу $\left( {\frac{0}{0}} \right)$ или $\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)$ с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности $\left( {{0^0}} \right),\left( {{1^\infty }} \right),\left( {{\infty ^0}} \right)$  сводятся к типу $\left( {0 \cdot \infty } \right)$ с помощью соотношения

\[f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}\]

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.