Call Now Button
Дифференциальное исчисление

Непрерывно дифференцируемая функция

Непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями.

Рассматривают также дважды непрерывно дифференцируемые функции — функции имеющие непрерывную вторую производную.

Аналогично можно ввести понятие $n$ — раз непрерывно дифференцируемых функций.

Если класс непрерывных функций обозначают через $C$, то класс непрерывно дифференцируемых функций обычно обозначают через ${C^1}$, класс $n$ раз непрерывно дифференцируемых функций обозначают через ${C^n}$.

Таблица производных, производные основных элементарных функций

Функцияпроизводнаяфункцияпроизводная
 $c\left( {const} \right)$0 $\sin x$ $\cos x$
 ${x^n}$$n{x^{n — 1}},n \in \mathbb{N}$ $\cos x$ $ — \sin x$
 $\frac{1}{x}$$ — \frac{1}{{{x^2}}}$ ${\text{tg}}x$ $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x$
 $\frac{1}{{{x^n}}}$ $ — \frac{n}{{{x^{n + 1}}}}$ ${\text{ctg }}x$ $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  — \cos e{c^2}x$
 ${x^a}$ $a{x^{a — 1}},a \in \mathbb{R}$ $\sec {\text{ }}x$ $\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$
 $\sqrt x $ $\frac{1}{{2\sqrt x }}$ $\cos ec{\text{ }}x$ $ — \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$
 $\sqrt[n]{x}$ $\frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n — 1}}}}}}$ $\arcsin x$ $\frac{1}{{\sqrt {1 — {x^2}} }}$
 ${e^x}$ ${e^x}$ ${\text{arccos }}x$ $\frac{{ — 1}}{{\sqrt {1 — {x^2}} }}$
 ${a^x}$ ${a^x}\ln a$ ${\text{arctg }}x$ $\frac{1}{{1 + {x^2}}}$
 $In{\text{ }}x$ $\frac{1}{x}$ ${\text{arcctg }}x$ $\frac{{ — 1}}{{1 + {x^2}}}$
 ${\log _a}\left| x \right|$ $\frac{1}{{x\ln a}} = \frac{1}{x}{\log _a}e,$ ${\text{arcsec }}x$ $\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} — 1} }}$
 $\log x$ $\frac{1}{x}\log e \approx \frac{{0.4343}}{x}$ ${\text{arccos }}x$ $\frac{{ — 1}}{{x\sqrt {{x^2} — 1} }}$
 $sh{\text{ }}x$ $ch{\text{ }}x$ $arcsh{\text{ }}x$ $\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
 $ch{\text{ }}x$ $sh{\text{ }}x$ $arcch{\text{ }}x$ $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} — 1} }}$
 $th{\text{ }}x$ $\frac{1}{{c{h^2}x}}$ $arcth{\text{ }}x$ $\frac{1}{{1 — {x^2}}}$
 $cth{\text{ }}x$ $\frac{{ — 1}}{{s{h^2}x}}$ $arccth{\text{ }}x$ $\frac{{ — 1}}{{1 — {x^2}}}$
функция$n$-я производная
${x^m}$$m\left( {m — 1} \right)\left( {m — 2} \right) \cdot  \cdot  \cdot \left( {m — n + 1} \right){x^{m — n}}$
для целых $n > m$, $n$-я производная равна 0
$In{\text{ }}x$${\left( { — 1} \right)^{n — 1}}\frac{{\left( {n — 1} \right)!}}{{{x^n}}}$
$I{n_a}{\text{ }}x$${\left( { — 1} \right)^{n — 1}}\frac{{\left( {n — 1} \right)!}}{{{x^n} \cdot In{\text{ }}a}}$
${e^{kx}}$${k^n}{e^{kx}}$
${a^x}$${\left( {In{\text{ }}a} \right)^n}{a^x}$
${a^{kx}}$${\left( {k{\text{ }}In{\text{ }}a} \right)^n}{a^{kx}}$
$\sin {\text{ }}x$$\sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\cos {\text{ }}x$$\cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\sin {\text{ }}kx$${k^n}\sin \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\cos {\text{ }}kx$${k^n}\cos \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$sh{\text{ }}x$$sh{\text{ }}x$ для чётного $n$, $ch{\text{ }}x$ для нечётного $n$
$ch{\text{ }}x$$ch{\text{ }}x$ для чётного $n$, $sh{\text{ }}x$ для нечётного $n$

Правила вычисления производных

  1. Функция дифференцируемая в точке ${x_0}$, непрерывна в этой точке.
  2. Пусть функции  $f$ и $g$  имеют производные в точке ${x_0}$. Тогда функция $\alpha f + \beta g,{\text{ }}\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}$, дифференцируемая в точке ${x_0}$ и справедливо правило$\left( {\alpha f + \beta g} \right)'{|_{x = {x_0}}} = \alpha f’\left( {{x_0}} \right) + \beta g’\left( {{x_0}} \right)$.
  3. Пусть функции  $f$ и $g$  имеют производные в точке ${x_0}$. Тогда функция $f \cdot g$ дифференцируемая в точке ${x_0}$ и справедливо правило${\left. {\left( {f \cdot g} \right)`} \right|_{x = {x_0}}} = f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right).$
  4. Пусть функции  $f$ и $g$  имеют производные в точке ${x_0}$ и $g\left( {{x_0}} \right) \ne 0$.
    Тогда функция $\frac{f}{g}$ дифференцируемая в точке ${x_0}$ и справедливо правило${\left. {{{\left( {\frac{f}{g}} \right)}^`}} \right|_{x = {x_0}}} = \frac{{f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) — f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right)}}{{{{\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)}^2}}}$
Call Now Button