Обратная функция

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от $x$ даёт $y$, то обратная ей функция от $y$ даёт $x$. Обратная функция функции $f$ f {\displaystyle f}  обычно обозначается ${f^{ — 1}}$ f − 1 {\displaystyle f^{-1}} , иногда также используется обозначение ${f^{inv}}$ f i n v {\displaystyle f^{\mathrm {inv} }} .

Функция $g:Y \to X$ является обратной к функции $f:X \to Y$, если выполнены следующие тождества:\[\begin{gathered}
f\left( {g\left( x \right)} \right) = y,\forall y \in Y, \hfill \\
g\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in X. \hfill \\
\end{gathered} \]

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y = f\left( x \right)$ относительно $x$. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к $f$ не существует. Таким образом, функция $f\left( x \right)$ обратима на интервале $\left( {a;b} \right)$ тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Пусть $f:X \subset R \to Y \subset R$ и ${f^{ — 1}}:Y \to X$ — её обратная функция. Тогда график функций $y = f\left( x \right)$ и $y = {f^{ — 1}}\left( x \right)$ симметричны относительно прямой $y = x$.