Действительная функция действительной переменной

Пусть даны множества $D\left( f \right)$ и $M$ — подмножества множества действительных чисел.

Действительной функцией действительной переменной называется такое соответствие, при котором каждому элементу из множества $D\left( f \right)$ сопоставляется единственный элемент из множества $M$, и обозначается $y = f\left( x \right)$.

$x$ — независимая переменная,

$y$ — зависимая переменная,

$D\left( f \right)$ — область определения функции,

$E\left( f \right) \subset M$ — множество значений функции.

Пусть $a$ и $b$ действительные числа. Областью определения функции $y = f\left( x \right)$ может быть:

1. интервал $\left( {a,b} \right) + \left\{ {x \in \mathbb{R}:a < x < b} \right\}$,
2. луч $\left( {a,\infty } \right) + \left\{ {x \in \mathbb{R}:a < x} \right\}$,
3. луч $\left( { — \infty ,b} \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x < b} \right\}$,
4. отрезок $\left[ {a,b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}:a \leqslant x \leqslant b} \right\}$,
5. комбинация этих числовых промежутков, полученная пересечением и объединением этих промежутков.

Множество действительных чисел, удовлетворяющих условию

$a \leqslant x < b,a < x \leqslant b,a \leqslant x$ и $x \leqslant b$

називается полуинтервал, и обозначается

$\left[ {a,b} \right),\left( {a,b,} \right]\left[ {a, + \infty } \right)$ и $\left( { — \infty ,b} \right]$, респективно.