Комплексные числа

Множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ — это множество: $$\mathbb{C} = \left\{ {a + ib|a,b \in \mathbb{R} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}{i^2} = — 1} \right\}$$  и справедливо $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.$$

Комплексные числа — это числа вида: $z = a + ib$, где $a$ и $b$ действительные числа,  а $i$ — мнимая единица, т.е. ${{i^2} = — 1}.$

Число $a$  называется действительной частью комплексного числа $z$ и обозначается: ${\mathop{\rm Re}\nolimits} z$ или ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)$.

Число $b$ называется мнимой частью комплексного числа $z$ и обозначается: ${\mathop{\rm Im}\nolimits} z$ или ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)$.

Число $z$ является действительным, если ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) = 0$.

Если ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = 0$ и ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ne 0$, то число $z$ называется чисто мнимым.

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2}$ равны, тогда и только тогда, когда ${a_1} = {a_2}$ и ${b_1} = {b_2}$ и это записывается ${z_1} = {z_2}$. Из равенства  $z = a + ib = 0$ следует, что $a = b = 0$.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сумма комплексных чисел ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2}$ есть комплексное число $$z = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + i\left( {{b_1} + {b_2}} \right),$$ и это записывается  $z = {z_1} + {z_2}$. И справедливо $${\mathop{\rm Re}\nolimits} \sum\limits_{k = 1}^n {zk = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Re}\nolimits} zk,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} } {\mathop{\rm Im}\nolimits} \sum\limits_{k = 1}^n {} zk = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Im}\nolimits} zk.} $$

Произведение  комплексных чисел

Произведение комплексных чисел ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2}$ есть комплексное число $$z = \left( {{a_1}{a_2} — {b_1}{b_2}} \right) + i\left( {{a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}} \right),$$ это записываем  $z = {z_1}{z_2}$.

Операции сложение, умножение для комплексных чисел имеют те же свойства, что и для действительных чисел.

При чём:  ноль представляется в виде $0 = 0 + i0$, единица в виде $1 = 1 + i0$, противоположное число для комплексного числа $z = a + ib$ относительно операции сложения, есть комплексное число $ — z = — a — ib$, а обратное число для комплексного числа $z = a + ib \ne 0$ относительно операции умножения, есть комплексное число $${z^{-1}} = \frac{1}{z} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + i\frac{{ — b}}{{{a^2} + {b^2}}}.$$

Степень комплексного числа с целым показателем степени

При возведении комплексного числа в степень с целым показателем справедливы следующие свойства:

1. ${z^1} = z$,  ${\rm{ }}{z^{m + 1}} = {z^m} \cdot z$  для  $m \in \mathbb{N}$ и $z \ne \mathbb{C}$,
2. ${z^0} = 1,{\rm{ }}z \ne 0$,
3. ${z^{ — m}} = \frac{1}{{{z^m}}}$, для $m \in \mathbb{N}$ и $z \ne 0$

Для мнимой единицы справедливо:

1. ${i^2} = — 1, {\rm{ }}{i^3} = — i, {\rm{ }}{i^4} = {i^0} = 1$
2. ${i^{4k + 1}} = i, {\rm{ }}{i^{4k + 2}} = — 1, {\rm{ }}{i^{4k}} = 1, {\rm{ }}k = 0,1,2,…$

Вычитание и деление комплексных чисел

Разностью комплексных чисел ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${a_2} + i{b_2}$ является комплексное число, такое, что  $$z = {z_1} — {z_2} = {z_1} + \left( { — {z_2}} \right) = \left( {{a_1} — {a_2}} \right) + i\left( {{b_1} — {b_2}} \right).$$

Частным комплексных чисел ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2} \ne 0$ является комплексное число, такое, что $$z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = {z_1} \cdot \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}} + i\frac{{{a_2}{b_1} — {a_1}{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}}.$$

Корень $n$-ой степени комплексного числа

Если $n$ натуральное число и $c$ комплексное число, тогда корень $n$-ой степени из числа $c$ есть решение уравнения ${z^n} = c$ и обозначается $\sqrt[n]{c}$.

Операции возведения в степнь и извлечение корня из комплексного числа имеют те же свойства, что и действительные числа.

Сопряжённые числа

Число $\bar z = a — ib$ называется комплексно сопряжённым (сопряжённым) числу $z = a + ib$.

Справедливы следующие утверждения:

1. $z\bar z = {a^2}{b^2}$, $\bar{\bar z} = z$,
2. ${\mathop{\rm Re}\nolimits} {\rm{ }}z = \frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right),{\rm{ Im }}z = \frac{1}{{{2_i}}}\left( {z — \bar z} \right)$,
3. $\overline {{z_1} \pm {z_2}} = {\bar z_1} \pm {\bar z_2},{\rm{ }}\overline {{z_1} \cdot {z_2}} = {\bar z_1} \cdot {\bar z_2}$,
4. $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_2}}},{\rm{ }}{z_2} = 0$,
5. $\overline {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{z_k}} } \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\bar z}_k}} ,{\rm{ }}\overline {\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{z_k}} } \right)} = \prod\limits_{k = 1}^n {{{\bar z}_k}} $.

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексное число $z = x + iy$ на комплексной плоскости соответствует точка $M\left( {x,y} \right)$. 

Модуль комплексного числа и его свойства

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ — это расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат. Обозначается $\left| z \right|$.  $$\rho = \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\bar z} \right|$$ 1. $\left| z \right| \ge 0,$ 2. $\left| z \right| = 0$ ако и само ако је $z = 0$, 3. ${\left| z \right|^2} = z\bar z$, 4. $\left| {\left| z \right| — \left| w \right|} \right| \le \left| {z \pm w} \right| \le \left| z \right| + \left| w \right|$, 5. $\left| {zw} \right| = \left| z \right|\left| w \right|$, 6. $\left| {\frac{z}{w}} \right| = \left| {\frac{z}{w}} \right|$, ако је $w \ne 0$, 7. из $\left| z \right| \le A$ и $\left| w \right| \le B$ следует $\left| {z + w} \right| \le A = B{\rm{ }}$ и $\left| {zw} \right| \le AB,{\rm{ }}A,B \in \mathbb{R}$

Аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа $z = x + iy \ne 0$  — это угол между осью $Оx$ и вектором, изображающий это комплексное число.  Аргумент комплексного числа $z$ обозначается $Arg{\rm{ }}z$ и неоднозначно определён. 

Аргумент числа $z = 0$ не определён.

Аргумент, для которого выполняется условие: $$ — \pi < Arg{\rm{ z}} \le \pi {\rm{,}}$$ называется главным аргументом, однозначно определён и обозначается $\arg {\rm{ z}}$.

Справедливо: $$Arg{\rm{ z}} = \arg {\rm{ z}} + 2k\pi ,{\rm{ }}k = 0, \pm 1, \pm 2,….$$

Для $z = x + iy \ne 0,x \ne 0$, је $$\varphi = \arg {\rm{ }}z,{\rm{ tg}}\varphi {\rm{ = }}\frac{y}{x}$$  Для определения главного аргумента $\arg {\rm{ z}}$ справедливо правило: $$\arg {\rm{ z}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ 0}}{\rm{, x > 0}}{\rm{, y}} = 0,}\\ {arctg\frac{y}{x},{\rm{ x > 0}}{\rm{, y}} \ne 0,}\\ {\frac{\pi }{2}{\rm{, x}} = 0,{\rm{ y > }}0,}\\ {\pi + arctg\frac{y}{x},{\rm{ x < 0}}{\rm{, y > 0}}{\rm{,}}}\\ {\pi ,{\rm{ x < 0}}{\rm{, y}} = 0,}\\ { — \pi + arctg\frac{y}{x},{\rm{ x < 0}}{\rm{, y}} = 0,}\\ { — \frac{\pi }{2}{\rm{, x}} = 0,{\rm{ y < 0}}{\rm{,}}} \end{array}} \right.{\rm{ }}$$

Полярные координаты комплексного числа

Полярными координатами комплексного числа $z = x + iy \ne 0$ назваются модуль и аргумент этого числа $\left( {|z|,{\rm{ arg z}}} \right) = \left( {\rho ,\varphi } \right)$. Для $x,y,|z|$ и ${\rm{arg z}}$ имеют место следующие соотношения: $${\rm{x}} = \rho \cos \varphi ,{\rm{ y}} = \rho {\rm{sin}}\varphi {\rm{, }}\rho = {\rm{|z|}}{\rm{, }}\varphi = \arg z$$

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа $z = x + iy \ne 0$ имеет вид $$z = \rho \cos \varphi + i\rho \sin \varphi = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$$.

Если ${z_1}{\rm{ = }}{\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)$ и ${{\rm{z}}_2} = {\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)$ тогда справедливо:

1. ${z_1} \cdot {z_2} = {\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \cdot {\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)$ $ = {\rho _1}{\rho _2}\left( {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right)$
2. $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\left( {\cos \left( {{\varphi _1} — {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} — {\varphi _2}} \right)} \right)$
3. Для комплексного числа $z = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \ne 0$ и целого числа $n$ справедливо $${z^n} = {\rho ^n}{\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\rho ^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right).$$
4. Если $n$ натуральное число, $z$ комплексное число и $z = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right),$ тогда корень $n$-ой степени из числа $z$: $$\sqrt[n]{{z = }}\sqrt[n]{{\rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[n]{\rho }\left( {\cos \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n}} \right),$$ при этом $\sqrt[n]{\rho }$ это корень из положительного числа $\rho $ и $k = 0,1,2,…,n — 1$.
5. Для $n \in \mathbb{N}, {\rm{k}} = 0,1,2,…,n — 1$ справедливо: $$\sqrt[n]{1} = \cos \frac{{2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{2k\pi }}{n},$$ $$\sqrt[n]{{ — 1}} = \cos \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{n} + i\sin \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{n}.$$

Формула Муавра $${\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi$$