Плоскость

Пусть $\overrightarrow {{r_1}}  = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k $ — радиус-вектор точки ${M_1}$,

$\overrightarrow r  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k $ — радиус-вектор точки $M$ плоскости $R$,

вектор $\overrightarrow n  = A\overrightarrow i  + B\overrightarrow j  + C\overrightarrow k $ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор), тогда уравнение плоскости имеет вид:

1. $\overrightarrow n  \cdot \left( {\overrightarrow r  — \overrightarrow {{r_1}} } \right) = 0$,
2. $\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow r  + D = 0$ — уравнение в векторной форме, где ${\text{   }}D =  — \overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {{r_1}} $,
3. $A\left( {x — {x_1}} \right) + B\left( {y — {y_1}} \right) + C\left( {z — {z_1}} \right) = 0$,
4. $Ax + By + Cz + D = 0$ — общее уравнение (полное) плоскости

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x\cos \alpha  + y\cos \beta  + z\cos \gamma  — p = 0$

в векторной форме:

$\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow {{n_0}}  — p = 0$,

где $\overrightarrow {n_0}$ — единичный вектор, $p$ — расстояние плоскости от начала координат.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть поскость $R$ задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, тогда

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ — уравнение плоскости в отрезках

где $a =  — \frac{D}{A}$, $b =  — \frac{D}{B}$, $c =  — \frac{D}{C}$ — отрезки, отсекаемые плоскостью $R$ на осях $Оx$, $Оy$ и $Оz$.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние $d$ от произвольной точки ${M_0}$ до данной плоскости

$\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow n  + D = 0$ или $Ax + By + Cz + D = 0$

равно

$d = \frac{{\left| {\overrightarrow {{r_0}}  \cdot \overrightarrow n  + D} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}$ или $d = \left| {\frac{{A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|.$

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

1. Если две плоскости заданы их векторными уравнениями
   $\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow {{n_1}}  + {D_1} = 0 и {\text{   }}\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  + {D_2} = 0$
   тогда угол между этими плоскостями равен:
   $\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}.$
2. Если плоскости заданы общими уравнениями
   ${A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0 и {A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0,$
   тогда угол между этими плоскостями равен:
   $\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|$

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол, образованный прямой и проекцией этой прямой на плоскость.

1. Угол $\alpha $ между прямой $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda a$ и плоскостью $\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow n  + D = 0$ равен:
   $\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right|}}$
2. Угол $\alpha $ между прямой $\frac{{x — {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y — {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z — {z_1}}}{{{a_3}}}$ и плоскостью $Ax + By + {C_z} + D = 0$ равен:
   $\sin \alpha  = \left| {\frac{{A{a_1} + B{a_2} + C{a_3}}}{{\sqrt {A_{}^2 + B_{}^2 + C_{}^2} \sqrt {A_1^2 + B_2^2 + C_3^2} }}} \right|$

Пучок плоскостей

Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид:

$\alpha \left({{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + \beta \left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0,$

где $\alpha $ и $\beta $, любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя $\alpha  = 1,\beta  = 0$ и $\alpha  = 0,\beta  = 1$

α ( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + β ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 , {\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,}