Уравнение прямой

Уравнение прямой в общем виде

${A_x} + {B_y} + C = 0,$

где $A$ и $B$  – некоторые числа. При этом коэффециенты $A$ и $B$ одновременно не равны нулю, так как тогда уравнение теряет смысл.

• Если $C = 0$, а $A$ и $B$ отличны от нуля, то прямая проходит через через начало координат.
• Если $A = 0$, а $B$ и $C$ отличны от нуля, то прямая параллельна оси $Ox$.
• Если $B = 0$, а $A$ и $C$ отличны от нуля, то прямая параллельна оси $Oy$.
• Если $B = C  = 0$, а $A$ отличен от нуля, то прямая совпадает с осью $Oy$.
• Если $A = C  = 0$, а $B$ отличен от нуля, то прямая совпадает с осью $Ox$.

Уравнение прямой с угловым коэффециентом

Общее уравнение прямой, при $B$ отличеном от нуля, можно привести к виду:

 $y = kx + n$.

Прямая $y = kx + n$ пересекает ось $Oy$ в точке $\left( {0,n} \right)$, а ось $Ox$ в точке $\left( { — \frac{n}{k},0} \right), k \ne 0$ и образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $\varphi $. Число  $k$ называется угловым коэффициентом и равно тангенсу угла $\varphi $, образованного данной прямой и положительным направлением оси $Ox$, $k = tg{\rm{ }}\varphi$.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая пересекает оси $Ox$ и $Oy$ в точках с координатами $\left( {a,O} \right)$ и $\left( {O,b} \right)$, то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,{\rm{ }}a \ne 0,b \ne 0,$$ 

Уравнение $x = a$ описывает прямую, параллельную оси $Oy$, а уравнение $y = b$ описывает прямую, параллельную оси $Ox$. Уравнение оси $Ox$ имеет вид: $y = 0$, а уравнение оси $Oy$ имеет вид $x = 0$.

Нормальное уравнение прямой

$$x\cos \beta + y\sin \beta — p = 0$$,

где $p$ длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а $\beta$ — угол между  положительным направлением оси $Ox$ и направлением этого перпендикуляра.

Уравнение прямой, проходящей через точку

Если известна точка ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$, принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент $k$ этой прямой, то уравнение этой прямой выражается формулой:

$$y — {y_0} = k\left( {x — {x_0}} \right)$$

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки

Уравнение прямой, которая проходит через две различные точки ${M_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ записываеся:

$$\frac{{y — {y_1}}}{{{y_2} — {y_1}}} = \frac{{x — {x_1}}}{{{x_2} — {x_1}}}$$

или

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&1\\ {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1 \end{array}} \right| = 0$$

или

$$y — {y_1} = \frac{{{y_2} — {y_1}}}{{{x_2} — {x_1}}}\left( {x — {x_1}} \right)$$

Соответствия между разными видами записи уравнения прямой

Числа $a$ и $b$, угловой коэффециент $k$, $p$ длину перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, $\cos \beta $ и $\sin \beta $ (где $\beta $ угол между  положительным направлением оси $Ox$ и перпендикуляром опущенным из начала координат на прямую) можно выразить через коэффициенты $A,{\rm{ }}B$ и $C$ следующим образом:

$$a = — \frac{C}{A},{\rm{ }}b = — \frac{C}{B},{\rm{ }}k = tg\alpha = — \frac{A}{B},{\rm{ }}\alpha = \beta — \frac{\pi }{2}$$

$$p = \frac{C}{{ \pm \sqrt {{A^2} + {B^2}} }},{\rm{ }}\cos \beta = \frac{A}{{ \pm \sqrt {{A^2} + {B^2}} }},{\rm{ }}\sin \beta = \frac{B}{{ \pm \sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$$

Знак перед корнем выбираем так, чтобы $p > 0$.

Условие параллельности прямых

Прямые

$y = {k_1}x + {n_1}$, и $y = {k_2}x + {n_2}$

параллельны, тогда и только тогда, когда

$${k_1} = {k_2}$$

Прямые

${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

параллельны, тогда и только тогда, когда

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right| = {A_1}{B_2} — {A_2}{B_1} = 0$$

Пересечение прямых

Прямые

${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

пересекаются, тогда и только тогда, когда

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right| = {A_1}{B_2} — {A_2}{B_1} \ne 0$$

Условие перпендикулярности прямых

Прямые

$y = {k_1}x + {n_1}$ и $y = {k_2}n + {n_2}$

перпендикулярны тогда и только тогда, когда ${k_1}{k_2} = — 1.$

прямые

${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

перпендикулярны тогда и только тогда, когда

$${A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} = 0$$

Уравнение прямой , проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Прямая, проходящая через точку ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ и перпендикулярная прямой

$Ax + By + C = 0$ и $y = kx + n$

представляется уравнением:

$y — y_0 = \frac{B}{A}\left( {x — {x_0}} \right)$

или

$y — {y_0} = — \frac{1}{k}\left( {x — {x_0}} \right)$

Угол между прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями:

$y = {k_1}x + {n_1}$ и $y = {k_2}x + {n_2}$

Угол между этими прямыми выражается формулой:

 ${\text{tg}}\varphi  = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}.$

Если $1 + {k_1}{k_2} = 0,$  тогда прямые ${p_1}$ и ${p_2}$ перпендикулярны, т.е. $\varphi  =  \pm {90^ \circ }.$

Пусть две прямые заданы уравнениями:

 ${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0,$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

Угол между этими прямыми выражается формулой:

 ${\text{tg}}\varphi  = \frac{{{A_1}{B_2} — {A_2}{B_1}}}{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}}}.$

Если ${A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} = 0,$ то прямые перпендикулярны, т.е. $\varphi  =  \pm {90^ \circ }.$

Прямая, проходящая через точку ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right),$ и образующая с прямой

$Ax + By + c = 0$

угол $\gamma ,$ выражается формулой:

$y — {y_0} = \frac{{B{\text{tg}}\gamma  — A}}{{A{\text{tg}}\gamma  + B}}\left( {x — {x_0}} \right)$, $y — {y_0} = \frac{{B{\text{tg}}\gamma  + A}}{{A{\text{tg}}\gamma  — B}}\left( {x — {x_0}} \right)$.