Нумеричко диференцирање

Апроксимације првог извода

1. Нека је $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$. Онда за свако $x$, $x \pm h \in \left[ {a,b} \right]$, $h > 0$, постоје 
   
   $\alpha ,\beta  \in \left( {x,x + h} \right)$ и $\gamma ,\delta  \in \left( {x - h,x} \right),$,
   
   такви да важи
   
   $f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - \frac{{f''\left( \alpha  \right)}}{2}h,$
   
   $f`\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {x - h} \right)}}{h} + \frac{{f''\left( \gamma  \right)}}{2}h$
   
   $f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)}}{{2h}} + \frac{{f''\left( \delta  \right) - f''\left( \beta  \right)}}{4}h$
   
   
2. Нека је $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$. Онда за свако  $x$, $x \pm h \in \left[ {a,b} \right]$, $h > 0$, постоји
   
   $\alpha  \in \left( {x - h,x + h} \right),$
   
   такво да важи
   
   $f'\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)}}{{2h}} - \frac{{f'''\left( \alpha  \right)}}{6}{h^2}.$
   
   

Као апроксимације првог извода узимају се:

диференцијални количник унапред

${D^ + }f\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$

диференцијални количник уназад

${D^ - }f\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {x - h} \right)}}{h}$

централни диференцијални количник

${D^0}f\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)}}{{2h}}$.

Апроксимације другог извода

Нека је $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$ Онда за свако $x$, $x \pm h \in \left[ {a,b} \right]$, $h > 0$ постоје

$\alpha  \in \left( {x - h,x + h} \right)$, $\beta  \in \left( {x - h,x} \right)$, $\gamma  \in \left( {x,x + h} \right)$,

такви да важи 

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)}}{{{h^2}}} + \frac{{f```\left( \gamma  \right) - f```\left( \beta  \right)}}{6}{h^2}.$

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)}}{{{h^2}}} - \frac{{{f^{IV}}\left( \alpha  \right)}}{{12}}{h^2}.$

Као апроксимација другог извода узима се

$Df\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)}}{{{h^2}}}.$