Екстремуми функције

Нека је функција дефинисана на $\left( {a,b} \right)$ и нека је ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$ . Вредност $f\left( {{x_0}} \right)$ је локални максимум (минимум) функције ако и само ако постоји околина $U\left( {{x_0}} \right) \subset \left( {a,b} \right)$ , таква да важи

$f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right),{\text{ }}\left( {f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ , за свако $x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$

Потребан услов за постојање екстремума

Нека је функција $f$ дефинисана у тачки ${x_0}$ . Ако је $f\left( {{x_0}} \right)$ локални екстремум функције $f$ , онда функција $f$ у тој тачки или нема извод или је $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ .

Довољни услов за постојање екстремума

Нека је функција $f$ дифернцијабилна за свако $x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ и нека је дефинисана у тачки ${x_0}$ . Ако је

$f'\left( {{x_0}} \right){\text{ > }}0$ , за $x < {x_0}$ ,

$f'\left( {{x_0}} \right){\text{ < }}0$ , за $x > {x_0}$ ,

онда је ${x_0}$ тачка строгог максимума функције $f$ .
Ако је

$f'\left( {{x_0}} \right){\text{ < }}0$ , за $x < {x_0}$ ,

$f'\left( {{x_0}} \right){\text{ > }}0$ , за $x > {x_0}$ ,

онда је ${x_0}$ тачка строгог минимума.
Ако је фукција $f$ двапут непрекидно диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$ и ако је

$f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ и $f''\left( {{x_0}} \right) > 0{\text{ }}\left( {f''\left( x \right) < 0} \right)$ ,

онда функција $f$ има у тачки ${x_0}$ локални минимум (максимум).
Нека је функција $f$ $n$ -пута непрекидно диференцијабилна у околини $U\left( {{x_0}} \right)$ и нека је

${f^{\left( k \right)}}\left( {{x_0}} \right) = 0,{\text{ }}k = 1,2,....n - 1$ , и ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0$ .

Ако је $n$ парно , тада функција $f$ у тачки ${x_0}$ има минимум ако је ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) > 0$ , а максимум ако је ${f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right) < 0$ .

Вредност $f(x_0)$ је локални максимум ако је у некој околини тачке $x_0$ функција свуда мања него у $x_0$ , а локални минимум ако је свуда већа. Потребан услов: у тачки екстремума је $f'(x_0) = 0$ или извод не постоји. Тај услов није довољан, јер $x^3$ има $f'(0) = 0$ , а нема екстремум.

Довољан услов је промена знака извода: ако $f'$ прелази са позитивног на негативан, у $x_0$ је максимум, а ако прелази са негативног на позитиван, минимум. Други начин: ако је $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) < 0$ , то је максимум, а ако је $f''(x_0) > 0$ , минимум. Ако је и $f''(x_0) = 0$ , тражи се први извод различит од нуле: ако је парног реда, екстремум постоји.

Страница исеченог квадрата2 cm

Запремина V: 1352 cm³
Извод V′: 468

Нагиб тангенте је

V'(x)

. Лево од

x = 5

он је позитиван, а десно негативан, док је у

x = 5

тангента водоравна: ту је максимум од 2000 cm³.

Произвођачи амбалаже траже кутију највеће запремине од датог картона, а инжењери облик који троши најмање материјала: то су задаци о екстремумима функција.

Кутија од картона

Од квадратног картона странице 30 cm праве се кутије без поклопца: у угловима се исеку квадрати странице $x$ , а ивице се савију навише. За које $x$ кутија има највећу запремину и колика је она?

Решење

Дно кутије је квадрат странице $30 - 2x$ , а висина је $x$ , па је $V(x) = x(30 - 2x)^2$ , за $0 < x < 15$ .
$V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$ . На интервалу $(0, 15)$ извод је нула само за $x = 5$ .
Како је $V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ , други извод је $V''(x) = 24x - 240$ , па је $V''(5) = -120 < 0$ : у $x = 5$ је максимум.
Највећа запремина је $V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000$ cm³.

Одговор: Треба исећи квадрате странице 5 cm; кутија тада има запремину 2000 cm³, тј. 2 литра.

Задатак за вежбу

Плац уз реку ограђује се са три стране, јер страну уз реку не треба оградити. На располагању је 120 m жичане ограде. Колике треба да буду странице правоугаоног плаца да његова површина буде највећа?

Прикажи решење

Ако су две странице нормалне на реку дужине $x$ , трећа је $120 - 2x$ , па је $P(x) = x(120 - 2x)$ . Из $P'(x) = 120 - 4x = 0$ је $x = 30$ , а $P'' = -4 < 0$ . Странице су 30 m и 60 m, а површина 1800 m².