Вектор је класа еквиваленције по реализацији $=$ у скупу свих усмерених дужи.
Вектори се означавају словима латинице са стрелицом изнад: $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,...,\overrightarrow x ,...$. Ако различите усмерене дужи $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {XY} ,...$ припадају истом вектору $\overrightarrow a $ (тј. истој класи еквиваленције по релацији $=$ у скупу свих усмерених дужи) пише се:
$\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {XY} = .....$
Класа дужи чији се почетак и крај поклапају назива се нула-вектор и обележава са: $\overrightarrow {0,} {\quad}\overrightarrow {AA} ,{\quad}\overrightarrow {BB,} $ итд.
Дужина (модул, интензитет) вектора $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} $ је растојање $\left| {AB} \right|$ и означава се са $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ или $\left| {\overrightarrow a } \right|$.
Правац вектора $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} $ је правац одређен правом $AB$.
Смер вектора $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} $ је смер полуправе $AB$.
Нула–вектор има дужину 0 и нема ни правац ни смер.
Јединични (орт) вектор је вектор дужине 1. Јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow a $ означава се са $\overrightarrow {{a_0}} $. Јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow {AB} $, означава се са ${\left( {\overrightarrow {AB} } \right)_0}$.
Колинеарни вектори
Вектори истог правца називају се колинеарни вектори. Нула-вектор је колинеарни са сваким вектором.
Сабирање и одузимање вектора
Правило троугла
Нека су $O$, $A$ и $B$ три произвољне тачке у простору. Вектор $\overrightarrow {OB} $ је збир вектора $\overrightarrow {OA} $ и $\overrightarrow {AB} $, што се обележава са $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} $.
Нека су дати вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ и нека је $O$ произвољна тачка. Ако се тачка $A$ одреди тако да је $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a $ и тачка $B$ тако да је $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b $, онда је збир вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $, за који је $\overrightarrow c = \overrightarrow {OB}$.
Правило паралелограма
Нека су дати вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ и нека је $O$ произвољна тачка. Ако се тачка $A$ одреди тако да је $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a $, тачка $B$ тако да је $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$, а тачка $C$ тако да је пресечна тачка праве кроз тачку $A$ која је паралелна са правом $OB$ и праве кроз тачку $B$ која је паралелна са правом $OA$, онда је збир вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ вектор $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $, за који је $\overrightarrow c = \overrightarrow {OC} $.
Вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ су компоненте, а вектор $\overrightarrow c $ је резултанта.
Супротни вектори
Два вектора која имају исте правце, једнаке дужине и супротне смерове су супротни вектори.
Вектор супротан вектору $\overrightarrow a $ означава се са $ - \overrightarrow a $, а вектор супротан вектору $\overrightarrow {AB} $ са $\overrightarrow {BA} $.
Нула-вектор је супротан самом себи, тј. $\overrightarrow 0 = - \overrightarrow 0$.
За супротне векторе важи:
$\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 ,\quad \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = 0,\quad - \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow a .$
Особине сабирања вектора
Нека је $\mathbb{V}$ скуп свих вектора. За произвољне векторе $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ из $\mathbb{V}$ важне особине:
- затвореност: $\overrightarrow a + \overrightarrow b \in \mathbb{V}$,
- асоцијативност: $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$,
- постојање неутралног елемента: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a $,
- постојање инверзног елемента: $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \left( { - \overrightarrow a } \right) + \overrightarrow a = \overrightarrow 0$,
- комутативност: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$.
Одузимање вектора
Разлика вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је вектор $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)$ и означава се са $\overrightarrow a - \overrightarrow {b} $.
Множење вектора
Производ скалара $p \in \mathbb{R}$ и вектора $\overrightarrow a $ је вектор који има правац вектора $\overrightarrow a $ , дужину $\left| p \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$ и исти смер као вектор $\overrightarrow a $ ако је $p > 0$, а супротан ако је $p < 0$. Ако је $p = 0$ или $\overrightarrow a = 0$, производ скалара $p$ и вектора $\overrightarrow a $ је нула-вектор.
Производ скалара $p \in \mathbb{R}$ и вектора $\overrightarrow a $ означава се са $p\overrightarrow a $ или $\overrightarrow a p$. Дужина вектора $p\overrightarrow a $ је $\left| p \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$, при чему је $\left| p \right|$ апсолутна вредност реалног броја $p$, а $\left| {\overrightarrow a } \right|$ је дужина вектора $\overrightarrow a $.
Особине множења скаларом
За свако $p,q \in \mathbb{R}$ и свако $a,b \in \mathbb{V}$ важи:
- затвореност: $p \overrightarrow a \in \mathbb{V}$,
- неутрални елементи: $1 \overrightarrow a = \overrightarrow a $,
- асоцијативност: $p\left( {q\overrightarrow a } \right) = \left( {pq} \right)\overrightarrow a $,
- дистрибутивност множења према сабирању скалара: $\left( {p + q} \right)\overrightarrow a = p\overrightarrow a + q\overrightarrow a $,
- дистрибутивност множења према сабирању вектора: $p\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = p\overrightarrow a + p\overrightarrow b$.
Количник вектора и скалара
Количник вектора $\overrightarrow a $ и скалара $p \ne 0$ је вектор једнак производу реципрочне вредности $\frac{1}{p}$ скалара $p$ и вектора $\overrightarrow a $, тј.
$\frac{{\overrightarrow a }}{p} = \frac{1}{p}\overrightarrow a $.
Ако је $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 $, онда је:
$\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \overrightarrow {{a_0}} , \quad \overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right|\overrightarrow {{a_0}}$
где је $\overrightarrow {{a_0}} $ јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow a $.
Линеарна комбинација вектора
Вектор
$\overrightarrow s = {p_1}\overrightarrow {{a_1}} + {p_2}\overrightarrow {{a_2}} + \cdot \cdot \cdot + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} , \quad {p_i} \in \mathbb{R}, \quad \overrightarrow {{a_i}} \in \mathbb{V}, \quad i = 1,2,.....,k,$
назива се линеарна комбинација вектора $\overrightarrow {{a_i}} \in V$, $i = 1,2,....,k$.
Вектори $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}} $ су линеарно зависни, ако постоје скалари ${p_1},{p_2},....,{p_k}$, од којих је бар један различит од нуле, такви да је:
${p_1}\overrightarrow {{a_1}} + {p_2}\overrightarrow {{a_2}} + \cdot \cdot \cdot + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} = \overrightarrow 0$.
Вектори $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}} $ су линеарно независни, ако нису линеарно зависни.
Интензитет и орт вектора
Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_x}\overrightarrow k $, онда је интензитет вектора $\overrightarrow a $.
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = a$,
а орт вектора $\overrightarrow a $ је
$\overrightarrow {{a_0}} = \frac{1}{a} \cdot \overrightarrow a = \frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow i + \frac{{{a_y}}}{a}\overrightarrow j + a\frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow k $,
или
$\overrightarrow {{a_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k $
где су $\alpha ,\beta ,\gamma $ углови које вектор $\overrightarrow a $ гради редом са координатним осама $x,y,z$.
Скаларни призвод
Скаларни производ вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је скалар
$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.
Особине скаларног производа
Ако су $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \in \mathbb{V}$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, онда важи:
- $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a $,
- $\lambda \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b $,
- $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c $,
- $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$.
$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$ ако и само ако су вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ узајамно ортогонални ($a \bot b$)
Израчунавање скаларног производа помоћу координата
Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k} $, онда је:
$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}$.
Угао између два вектора
Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k} $, онда је
$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}},$$
$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}}}{{\sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt {b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} }}.$$
Векторски производ вектора
Векторски производ вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је вектор $\overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b $, који има интензитет једнак површини паралелограма конструисаног над векторима $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $, правац нормалан на раван овог паралелограма, а смер такав да је триедар $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)$ десни (а то значи да ротација вектора $\overrightarrow a $ ка вектору $\overrightarrow b $, у смеру супротном кретању казаљке на часовнику, има најкраћи пут, гледано са завршне тачке вектора $\overrightarrow a \times \overrightarrow b $).
Особине векторског производа
Ако је $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \in \mathbb{V}$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, онда важи:
- $\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$,
- $\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a = 0,{\text{ }}\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b = 0$,
- $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \overrightarrow b \times \overrightarrow a $,
- $\lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b $,
- $\overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) + \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow c } \right)$,
- $\overrightarrow a \times \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) = 0$.
Израчунавање векторског производа помоћу координата
За $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k} $ је
$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\
{{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\
{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}}
\end{array}} \right|$.
Мешовити векторски производ
Мешовити производ $\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c $ три некомпланарна вектора $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ је скалар, чија је апсолутна вредност једнака запремини паралелопипеда конструисаног над векторима $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $.
Знак мешовитог производа је позитиван , ако су системи $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)$ и $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)$ исте оријентације, а негативан ако су супротне.
Израчунавање мешовитог производа помоћу координата
Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k $, $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow c = {c_x}\overrightarrow i + {c_y}\overrightarrow j + {c_z}\overrightarrow k $, онда је
$\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\
{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \\
{{c_x}}&{{c_y}}&{{c_z}}
\end{array}} \right|$.
