Једначина равни
Ако је $\overrightarrow {{r_1}} = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k $ вектор положаја тачке ${M_1}$, $\overrightarrow r = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k $ вектор положаја тачке $M$ равни $\alpha$, која садржи тачку ${M_1}$ и нормална је на вектор $\overrightarrow n = A\overrightarrow i + B\overrightarrow j + C\overrightarrow k $, онда једначина равни $\alpha$ има облике:
- $\overrightarrow n \cdot \left( {\overrightarrow r - \overrightarrow {{r_1}} } \right) = 0$,
- $\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r + D = 0, \quad D = - \overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{r_1}} $,
- $A\left( {x - {x_1}} \right) + B\left( {y - {y_1}} \right) + C\left( {z - {z_1}} \right) = 0$,
- $Ax + By + Cz + D = 0$.
Нормални облик
Једначина равни нормална на јединични вектор
$\overrightarrow {{n_0}} = \cos \alpha \cdot \overrightarrow i + \cos \beta \cdot \overrightarrow j + \cos \gamma \cdot \overrightarrow k $,
на растојању $p$ од координатног почетка, је
$\overrightarrow r \cdot \overrightarrow {{n_0}} - p = 0$,
или
$x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$.
Сегментни облик
Нека је раван $\alpha$ дата једначином $Ax + By + Cz + D = 0$. Величине
$$a = - \frac{D}{A}, \quad b = - \frac{D}{B}, \quad c = - \frac{D}{C}$$
називају се одсечци (сегменти) равни $R$ на осама $x$, $y$ и $z$, редом.
Ако се коефицијенти $A$, $B$, $C$ изразе помоћу $D$, $a$, $b$ и $c$, а потом добијена једнакост подели са $D\left( {D \ne 0} \right)$, добија се једначина равни $\alpha$ у сегментном облику
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
Растојање тачке од равни
Растојање $d$ тачке ${M_0}$, чији је вектор положаја $\overrightarrow {{r_0}} = {x_0}\overrightarrow i + {y_0}\overrightarrow j + {z_0}\overrightarrow k $, од равни$\overrightarrow r \cdot \overrightarrow n + D = 0$ или $Ax + By + Cz + D = 0$, дато је са
$$d = \frac{{\left| {\overrightarrow {{r_0}} \cdot \overrightarrow n + D} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}$$ или $$d = \left| {\frac{{A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|.$$
Угао између две равни
Угао између две равни једнак је углу између њихових нормалних вектора.
- Ако су две равни задате њиховим векторским једначинама
$\overrightarrow r \cdot \overrightarrow {{n_1}} + {D_1} = 0,{\text{ }}\overrightarrow r \cdot \overrightarrow {{n_2}} + {D_2} = 0$
онда је угао између те две равни
$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}.$$ - Ако су једначине равни дате са
${A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$, ${A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
Онда је угао између те две равни
$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|$$
Угао између праве и равни
Угао између праве и равни је оштар или прав угао који граде права и њена нормална пројекција на ту раван.
- Угао $\alpha $ између праве $\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_1}} + \lambda a$ и равни $\overrightarrow r \cdot \overrightarrow n + D = 0$ дат је формулом
$$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right|}}$$ - Угао између праве
$$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$$
и равни
$$Ax + By + {C_z} + D = 0$$
Одређен је формулом
$$\sin \alpha = \left| {\frac{{A{a_1} + B{a_2} + C{a_3}}}{{\sqrt {A_{}^2 + B_{}^2 + C_{}^2} \sqrt {A_1^2 + B_2^2 + C_3^2} }}} \right|.$$
Прамен равни
Прамен равни је скуп свих равни које пролазе кроз пресечну праву двеју равни.
Ако су једначине тих равни
$\alpha :{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$
и
$\beta :{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0,$
онда је једначина било које равни прамена, сем равни $\beta $, дата са
${A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} + \lambda \left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0,$
где је $\lambda \in \mathbb{R}$ произвољан параметар.
